Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59754 / 30227
↖ ↑ ↗
← N 69.143987°
W 15.880737°		 ← 108.72 m → N 69.143987°
W 15.877991°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
N 69.143009°
W 15.880737°		 ← 108.72 m →
11 823 m²		 N 69.143009°
W 15.877991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455890655517578 y=0.230617523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455890655517578 × 217)
    floor (0.455890655517578 × 131072)
    floor (59754.5)     		tx = 59754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230617523193359 × 217)
    floor (0.230617523193359 × 131072)
    floor (30227.5)     		ty = 30227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59754 / 30227 ti = "17/59754/30227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59754/30227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59754 ÷ 217
    59754 ÷ 131072     		x = 0.455886840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30227 ÷ 217
    30227 ÷ 131072     		y = 0.230613708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455886840820312 × 2 - 1) × π
    -0.088226318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27717115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230613708496094 × 2 - 1) × π
    0.538772583007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.69260398868456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27717115} λ = -0.27717115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69260398868456))-π/2
    2×atan(5.43361136161366)-π/2
    2×1.38879327765088-π/2
    2.77758655530176-1.57079632675     		φ = 1.20679023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27717115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.880737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20679023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.143987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59754 KachelY 30227 -0.27717115 1.20679023 -15.880737 69.143987
    Oben rechts KachelX + 1 59755 KachelY 30227 -0.27712322 1.20679023 -15.877991 69.143987
    Unten links KachelX 59754 KachelY + 1 30228 -0.27717115 1.20677316 -15.880737 69.143009
    Unten rechts KachelX + 1 59755 KachelY + 1 30228 -0.27712322 1.20677316 -15.877991 69.143009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20679023-1.20677316) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dl = 108.752969999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20679023-1.20677316) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dr = 108.752969999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27717115--0.27712322) × cos(1.20679023) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.356020689724564 × 6371000     		do = 108.715200536233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27717115--0.27712322) × cos(1.20677316) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.356036641213395 × 6371000     		du = 108.720071515245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20679023)-sin(1.20677316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356020689724564-0.356036641213395)×R²
    abs(-0.27712322--0.27717115)×1.59514888318224e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59514888318224e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59514888318224e-05×40589641000000     		ar = 11823.3658094252m²