Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59754 / 27326
↖ ↑ ↗
← N 71.803126°
W 15.880737°		 ← 95.36 m → N 71.803126°
W 15.877991°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
N 71.802268°
W 15.880737°		 ← 95.36 m →
9 095 m²		 N 71.802268°
W 15.877991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455890655517578 y=0.208484649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455890655517578 × 217)
    floor (0.455890655517578 × 131072)
    floor (59754.5)     		tx = 59754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208484649658203 × 217)
    floor (0.208484649658203 × 131072)
    floor (27326.5)     		ty = 27326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59754 / 27326 ti = "17/59754/27326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59754/27326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59754 ÷ 217
    59754 ÷ 131072     		x = 0.455886840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27326 ÷ 217
    27326 ÷ 131072     		y = 0.208480834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455886840820312 × 2 - 1) × π
    -0.088226318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27717115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208480834960938 × 2 - 1) × π
    0.583038330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83166893448235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27717115} λ = -0.27717115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83166893448235))-π/2
    2×atan(6.24429929351406)-π/2
    2×1.41199864262136-π/2
    2.82399728524272-1.57079632675     		φ = 1.25320096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27717115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.880737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25320096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.803126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59754 KachelY 27326 -0.27717115 1.25320096 -15.880737 71.803126
    Oben rechts KachelX + 1 59755 KachelY 27326 -0.27712322 1.25320096 -15.877991 71.803126
    Unten links KachelX 59754 KachelY + 1 27327 -0.27717115 1.25318599 -15.880737 71.802268
    Unten rechts KachelX + 1 59755 KachelY + 1 27327 -0.27712322 1.25318599 -15.877991 71.802268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25320096-1.25318599) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dl = 95.373870000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25320096-1.25318599) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dr = 95.373870000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27717115--0.27712322) × cos(1.25320096) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.312283090357549 × 6371000     		do = 95.3593984062025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27717115--0.27712322) × cos(1.25318599) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.312297311659237 × 6371000     		du = 95.3637410517552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25320096)-sin(1.25318599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312283090357549-0.312297311659237)×R²
    abs(-0.27712322--0.27717115)×1.42213016881554e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.42213016881554e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.42213016881554e-05×40589641000000     		ar = 9095.00195458414m²