Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59753 / 35751
↖ ↑ ↗
← N 63.026320°
W 15.883484°		 ← 138.54 m → N 63.026320°
W 15.880737°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
N 63.025074°
W 15.883484°		 ← 138.54 m →
19 188 m²		 N 63.025074°
W 15.880737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455883026123047 y=0.272762298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455883026123047 × 217)
    floor (0.455883026123047 × 131072)
    floor (59753.5)     		tx = 59753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272762298583984 × 217)
    floor (0.272762298583984 × 131072)
    floor (35751.5)     		ty = 35751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59753 / 35751 ti = "17/59753/35751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59753/35751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59753 ÷ 217
    59753 ÷ 131072     		x = 0.455879211425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35751 ÷ 217
    35751 ÷ 131072     		y = 0.272758483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455879211425781 × 2 - 1) × π
    -0.0882415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27721909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272758483886719 × 2 - 1) × π
    0.454483032226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.42780055518337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27721909} λ = -0.27721909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42780055518337))-π/2
    2×atan(4.16951847358802)-π/2
    2×1.33540656339759-π/2
    2.67081312679517-1.57079632675     		φ = 1.10001680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27721909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.883484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10001680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.026320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59753 KachelY 35751 -0.27721909 1.10001680 -15.883484 63.026320
    Oben rechts KachelX + 1 59754 KachelY 35751 -0.27717115 1.10001680 -15.880737 63.026320
    Unten links KachelX 59753 KachelY + 1 35752 -0.27721909 1.09999506 -15.883484 63.025074
    Unten rechts KachelX + 1 59754 KachelY + 1 35752 -0.27717115 1.09999506 -15.880737 63.025074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10001680-1.09999506) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10001680-1.09999506) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27721909--0.27717115) × cos(1.10001680) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453581149077918 × 6371000     		do = 138.535358107243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27721909--0.27717115) × cos(1.09999506) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453600523984401 × 6371000     		du = 138.541275702393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10001680)-sin(1.09999506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453581149077918-0.453600523984401)×R²
    abs(-0.27717115--0.27721909)×1.93749064838489e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93749064838489e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93749064838489e-05×40589641000000     		ar = 19188.3243944355m²