Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59752 / 59176
↖ ↑ ↗
← S 80.907615°
E148.227539°		 ← 96.52 m → S 80.907615°
E148.233032°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
S 80.908484°
E148.227539°		 ← 96.51 m →
9 316 m²		 S 80.908484°
E148.233032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911750793457031 y=0.902961730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911750793457031 × 216)
    floor (0.911750793457031 × 65536)
    floor (59752.5)     		tx = 59752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902961730957031 × 216)
    floor (0.902961730957031 × 65536)
    floor (59176.5)     		ty = 59176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59752 / 59176 ti = "16/59752/59176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59752/59176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59752 ÷ 216
    59752 ÷ 65536     		x = 0.9117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59176 ÷ 216
    59176 ÷ 65536     		y = 0.9029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9117431640625 × 2 - 1) × π
    0.823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58705860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53183529033289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58705860} λ = 2.58705860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53183529033289))-π/2
    2×atan(0.0795129569313701)-π/2
    2×0.0793460211976014-π/2
    0.158692042395203-1.57079632675     		φ = -1.41210428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58705860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41210428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.907615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59752 KachelY 59176 2.58705860 -1.41210428 148.227539 -80.907615
    Oben rechts KachelX + 1 59753 KachelY 59176 2.58715447 -1.41210428 148.233032 -80.907615
    Unten links KachelX 59752 KachelY + 1 59177 2.58705860 -1.41211943 148.227539 -80.908484
    Unten rechts KachelX + 1 59753 KachelY + 1 59177 2.58715447 -1.41211943 148.233032 -80.908484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41210428--1.41211943) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dl = 96.5206499990621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41210428--1.41211943) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dr = 96.5206499990621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58705860-2.58715447) × cos(-1.41210428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158026823616833 × 6371000     		do = 96.5208511971066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58705860-2.58715447) × cos(-1.41211943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158011863961181 × 6371000     		du = 96.5117140223909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41210428)-sin(-1.41211943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158026823616833-0.158011863961181)×R²
    abs(2.58715447-2.58705860)×1.49596556520415e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49596556520415e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49596556520415e-05×40589641000000     		ar = 9315.81433328976m²