Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59752 / 59143
↖ ↑ ↗
← S 80.878925°
E148.227539°		 ← 96.82 m → S 80.878925°
E148.233032°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
S 80.879796°
E148.227539°		 ← 96.81 m →
9 376 m²		 S 80.879796°
E148.233032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911750793457031 y=0.902458190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911750793457031 × 216)
    floor (0.911750793457031 × 65536)
    floor (59752.5)     		tx = 59752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902458190917969 × 216)
    floor (0.902458190917969 × 65536)
    floor (59143.5)     		ty = 59143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59752 / 59143 ti = "16/59752/59143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59752/59143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59752 ÷ 216
    59752 ÷ 65536     		x = 0.9117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59143 ÷ 216
    59143 ÷ 65536     		y = 0.902450561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9117431640625 × 2 - 1) × π
    0.823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58705860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902450561523438 × 2 - 1) × π
    -0.804901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52867145495796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58705860} λ = 2.58705860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52867145495796))-π/2
    2×atan(0.0797649212138523)-π/2
    2×0.0795963975019802-π/2
    0.15919279500396-1.57079632675     		φ = -1.41160353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58705860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41160353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.878925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59752 KachelY 59143 2.58705860 -1.41160353 148.227539 -80.878925
    Oben rechts KachelX + 1 59753 KachelY 59143 2.58715447 -1.41160353 148.233032 -80.878925
    Unten links KachelX 59752 KachelY + 1 59144 2.58705860 -1.41161873 148.227539 -80.879796
    Unten rechts KachelX + 1 59753 KachelY + 1 59144 2.58715447 -1.41161873 148.233032 -80.879796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41160353--1.41161873) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41160353--1.41161873) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58705860-2.58715447) × cos(-1.41160353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158521261769441 × 6371000     		do = 96.8228479737412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58705860-2.58715447) × cos(-1.41161873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158506253946558 × 6371000     		du = 96.8136813790698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41160353)-sin(-1.41161873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158521261769441-0.158506253946558)×R²
    abs(2.58715447-2.58705860)×1.50078228831063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50078228831063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50078228831063e-05×40589641000000     		ar = 9375.80329708318m²