Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59752 / 54631
↖ ↑ ↗
← N 28.673721°
W 15.886231°		 ← 267.97 m → N 28.673721°
W 15.883484°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
N 28.671311°
W 15.886231°		 ← 267.98 m →
71 807 m²		 N 28.671311°
W 15.883484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455875396728516 y=0.416805267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455875396728516 × 217)
    floor (0.455875396728516 × 131072)
    floor (59752.5)     		tx = 59752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416805267333984 × 217)
    floor (0.416805267333984 × 131072)
    floor (54631.5)     		ty = 54631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59752 / 54631 ti = "17/59752/54631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59752/54631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59752 ÷ 217
    59752 ÷ 131072     		x = 0.45587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54631 ÷ 217
    54631 ÷ 131072     		y = 0.416801452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.0882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27726703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416801452636719 × 2 - 1) × π
    0.166397094726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.522751890356712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27726703} λ = -0.27726703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522751890356712))-π/2
    2×atan(1.68666278012807)-π/2
    2×1.03562358091616-π/2
    2.07124716183232-1.57079632675     		φ = 0.50045084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27726703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.886231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50045084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.673721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59752 KachelY 54631 -0.27726703 0.50045084 -15.886231 28.673721
    Oben rechts KachelX + 1 59753 KachelY 54631 -0.27721909 0.50045084 -15.883484 28.673721
    Unten links KachelX 59752 KachelY + 1 54632 -0.27726703 0.50040878 -15.886231 28.671311
    Unten rechts KachelX + 1 59753 KachelY + 1 54632 -0.27721909 0.50040878 -15.883484 28.671311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50045084-0.50040878) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dl = 267.964259999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50045084-0.50040878) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dr = 267.964259999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27726703--0.27721909) × cos(0.50045084) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877366328500602 × 6371000     		do = 267.970260133514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27726703--0.27721909) × cos(0.50040878) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877386509001661 × 6371000     		du = 267.976423777983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50045084)-sin(0.50040878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877366328500602-0.877386509001661)×R²
    abs(-0.27721909--0.27726703)×2.01805010587863e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01805010587863e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01805010587863e-05×40589641000000     		ar = 71807.2782874175m²