Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59752 / 30177
↖ ↑ ↗
← N 69.192824°
W 15.886231°		 ← 108.49 m → N 69.192824°
W 15.883484°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
N 69.191848°
W 15.886231°		 ← 108.50 m →
11 772 m²		 N 69.191848°
W 15.883484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455875396728516 y=0.230236053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455875396728516 × 217)
    floor (0.455875396728516 × 131072)
    floor (59752.5)     		tx = 59752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230236053466797 × 217)
    floor (0.230236053466797 × 131072)
    floor (30177.5)     		ty = 30177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59752 / 30177 ti = "17/59752/30177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59752/30177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59752 ÷ 217
    59752 ÷ 131072     		x = 0.45587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30177 ÷ 217
    30177 ÷ 131072     		y = 0.230232238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.0882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27726703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230232238769531 × 2 - 1) × π
    0.539535522460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.69500083366557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27726703} λ = -0.27726703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69500083366557))-π/2
    2×atan(5.44665050589588)-π/2
    2×1.38921946333918-π/2
    2.77843892667836-1.57079632675     		φ = 1.20764260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27726703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.886231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20764260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.192824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59752 KachelY 30177 -0.27726703 1.20764260 -15.886231 69.192824
    Oben rechts KachelX + 1 59753 KachelY 30177 -0.27721909 1.20764260 -15.883484 69.192824
    Unten links KachelX 59752 KachelY + 1 30178 -0.27726703 1.20762557 -15.886231 69.191848
    Unten rechts KachelX + 1 59753 KachelY + 1 30178 -0.27721909 1.20762557 -15.883484 69.191848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20764260-1.20762557) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20764260-1.20762557) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27726703--0.27721909) × cos(1.20764260) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355224039415457 × 6371000     		do = 108.494565104309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27726703--0.27721909) × cos(1.20762557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355239958687689 × 6371000     		du = 108.499427259811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20764260)-sin(1.20762557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355224039415457-0.355239958687689)×R²
    abs(-0.27721909--0.27726703)×1.59192722324342e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59192722324342e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59192722324342e-05×40589641000000     		ar = 11771.721196606m²