Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59751 / 59128
↖ ↑ ↗
← S 80.865854°
E148.222046°		 ← 96.97 m → S 80.865854°
E148.227539°		 →
↑
96.97 m
↓
↑
96.97 m
↓
S 80.866726°
E148.222046°		 ← 96.96 m →
9 402 m²		 S 80.866726°
E148.227539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911735534667969 y=0.902229309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911735534667969 × 216)
    floor (0.911735534667969 × 65536)
    floor (59751.5)     		tx = 59751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902229309082031 × 216)
    floor (0.902229309082031 × 65536)
    floor (59128.5)     		ty = 59128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59751 / 59128 ti = "16/59751/59128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59751/59128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59751 ÷ 216
    59751 ÷ 65536     		x = 0.911727905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59128 ÷ 216
    59128 ÷ 65536     		y = 0.9022216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911727905273438 × 2 - 1) × π
    0.823455810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58696272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52723334796936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58696272} λ = 2.58696272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52723334796936))-π/2
    2×atan(0.0798797142270283)-π/2
    2×0.0797104637303788-π/2
    0.159420927460758-1.57079632675     		φ = -1.41137540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58696272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.222046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41137540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.865854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59751 KachelY 59128 2.58696272 -1.41137540 148.222046 -80.865854
    Oben rechts KachelX + 1 59752 KachelY 59128 2.58705860 -1.41137540 148.227539 -80.865854
    Unten links KachelX 59751 KachelY + 1 59129 2.58696272 -1.41139062 148.222046 -80.866726
    Unten rechts KachelX + 1 59752 KachelY + 1 59129 2.58705860 -1.41139062 148.227539 -80.866726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41137540--1.41139062) × R
    1.52199999998714e-05 × 6371000     		dl = 96.966619999181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41137540--1.41139062) × R
    1.52199999998714e-05 × 6371000     		dr = 96.966619999181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58696272-2.58705860) × cos(-1.41137540) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.158746503067296 × 6371000     		do = 96.9705363438677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58696272-2.58705860) × cos(-1.41139062) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.158731476048026 × 6371000     		du = 96.9613570669068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41137540)-sin(-1.41139062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158746503067296-0.158731476048026)×R²
    abs(2.58705860-2.58696272)×1.50270192697255e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.50270192697255e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.50270192697255e-05×40589641000000     		ar = 9402.46010734242m²