Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59750 / 85114
↖ ↑ ↗
← S 47.268048°
W 15.891724°		 ← 207.25 m → S 47.268048°
W 15.888977°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
S 47.269911°
W 15.891724°		 ← 207.25 m →
42 952 m²		 S 47.269911°
W 15.888977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455860137939453 y=0.649372100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455860137939453 × 217)
    floor (0.455860137939453 × 131072)
    floor (59750.5)     		tx = 59750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649372100830078 × 217)
    floor (0.649372100830078 × 131072)
    floor (85114.5)     		ty = 85114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59750 / 85114 ti = "17/59750/85114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59750/85114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59750 ÷ 217
    59750 ÷ 131072     		x = 0.455856323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85114 ÷ 217
    85114 ÷ 131072     		y = 0.649368286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455856323242188 × 2 - 1) × π
    -0.088287353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27736290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649368286132812 × 2 - 1) × π
    -0.298736572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.938508620761459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27736290} λ = -0.27736290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938508620761459))-π/2
    2×atan(0.391210844237779)-π/2
    2×0.3729066316892-π/2
    0.745813263378399-1.57079632675     		φ = -0.82498306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27736290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.891724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82498306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.268048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59750 KachelY 85114 -0.27736290 -0.82498306 -15.891724 -47.268048
    Oben rechts KachelX + 1 59751 KachelY 85114 -0.27731496 -0.82498306 -15.888977 -47.268048
    Unten links KachelX 59750 KachelY + 1 85115 -0.27736290 -0.82501559 -15.891724 -47.269911
    Unten rechts KachelX + 1 59751 KachelY + 1 85115 -0.27731496 -0.82501559 -15.888977 -47.269911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82498306--0.82501559) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dl = 207.248630000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82498306--0.82501559) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dr = 207.248630000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27736290--0.27731496) × cos(-0.82498306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67856940876591 × 6371000     		do = 207.252563813795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27736290--0.27731496) × cos(-0.82501559) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678545513941454 × 6371000     		du = 207.245265719353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82498306)-sin(-0.82501559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67856940876591-0.678545513941454)×R²
    abs(-0.27731496--0.27736290)×2.38948244558612e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38948244558612e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38948244558612e-05×40589641000000     		ar = 42952.0536581548m²