Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59750 / 59198
↖ ↑ ↗
← S 80.926693°
E148.216553°		 ← 96.32 m → S 80.926693°
E148.222046°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
S 80.927560°
E148.216553°		 ← 96.31 m →
9 278 m²		 S 80.927560°
E148.222046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911720275878906 y=0.903297424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911720275878906 × 216)
    floor (0.911720275878906 × 65536)
    floor (59750.5)     		tx = 59750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903297424316406 × 216)
    floor (0.903297424316406 × 65536)
    floor (59198.5)     		ty = 59198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59750 / 59198 ti = "16/59750/59198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59750/59198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59750 ÷ 216
    59750 ÷ 65536     		x = 0.911712646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59198 ÷ 216
    59198 ÷ 65536     		y = 0.903289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911712646484375 × 2 - 1) × π
    0.82342529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58686685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903289794921875 × 2 - 1) × π
    -0.80657958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53394451391617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58686685} λ = 2.58686685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53394451391617))-π/2
    2×atan(0.0793454230727275)-π/2
    2×0.0791795376832022-π/2
    0.158359075366404-1.57079632675     		φ = -1.41243725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58686685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.216553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41243725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.926693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59750 KachelY 59198 2.58686685 -1.41243725 148.216553 -80.926693
    Oben rechts KachelX + 1 59751 KachelY 59198 2.58696272 -1.41243725 148.222046 -80.926693
    Unten links KachelX 59750 KachelY + 1 59199 2.58686685 -1.41245237 148.216553 -80.927560
    Unten rechts KachelX + 1 59751 KachelY + 1 59199 2.58696272 -1.41245237 148.222046 -80.927560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41243725--1.41245237) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41243725--1.41245237) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58686685-2.58696272) × cos(-1.41243725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157698028690877 × 6371000     		do = 96.3200272774944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58686685-2.58696272) × cos(-1.41245237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157683097863619 × 6371000     		du = 96.3109077108095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41243725)-sin(-1.41245237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157698028690877-0.157683097863619)×R²
    abs(2.58696272-2.58686685)×1.49308272577031e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49308272577031e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49308272577031e-05×40589641000000     		ar = 9278.02275213978m²