Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59750 / 30178
↖ ↑ ↗
← N 69.191848°
W 15.891724°		 ← 108.50 m → N 69.191848°
W 15.888977°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
N 69.190873°
W 15.891724°		 ← 108.50 m →
11 772 m²		 N 69.190873°
W 15.888977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455860137939453 y=0.230243682861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455860137939453 × 217)
    floor (0.455860137939453 × 131072)
    floor (59750.5)     		tx = 59750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230243682861328 × 217)
    floor (0.230243682861328 × 131072)
    floor (30178.5)     		ty = 30178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59750 / 30178 ti = "17/59750/30178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59750/30178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59750 ÷ 217
    59750 ÷ 131072     		x = 0.455856323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30178 ÷ 217
    30178 ÷ 131072     		y = 0.230239868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455856323242188 × 2 - 1) × π
    -0.088287353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27736290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230239868164062 × 2 - 1) × π
    0.539520263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69495289676595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27736290} λ = -0.27736290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69495289676595))-π/2
    2×atan(5.44638941661527)-π/2
    2×1.38921094897885-π/2
    2.77842189795771-1.57079632675     		φ = 1.20762557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27736290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.891724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20762557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.191848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59750 KachelY 30178 -0.27736290 1.20762557 -15.891724 69.191848
    Oben rechts KachelX + 1 59751 KachelY 30178 -0.27731496 1.20762557 -15.888977 69.191848
    Unten links KachelX 59750 KachelY + 1 30179 -0.27736290 1.20760854 -15.891724 69.190873
    Unten rechts KachelX + 1 59751 KachelY + 1 30179 -0.27731496 1.20760854 -15.888977 69.190873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20762557-1.20760854) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20762557-1.20760854) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27736290--0.27731496) × cos(1.20762557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355239958687689 × 6371000     		do = 108.499427259811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27736290--0.27731496) × cos(1.20760854) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355255877856894 × 6371000     		du = 108.504289383846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20762557)-sin(1.20760854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355239958687689-0.355255877856894)×R²
    abs(-0.27731496--0.27736290)×1.59191692054028e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59191692054028e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59191692054028e-05×40589641000000     		ar = 11772.2487297416m²