Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5975 / 10107
↖ ↑ ↗
← S 38.736946°
W 48.713379°		 ← 1 905.77 m → S 38.736946°
W 48.691406°		 →
↑
1 905.57 m
↓
↑
1 905.57 m
↓
S 38.754083°
W 48.713379°		 ← 1 905.32 m →
3 631 142 m²		 S 38.754083°
W 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364715576171875 y=0.616912841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364715576171875 × 214)
    floor (0.364715576171875 × 16384)
    floor (5975.5)     		tx = 5975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616912841796875 × 214)
    floor (0.616912841796875 × 16384)
    floor (10107.5)     		ty = 10107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5975 / 10107 ti = "14/5975/10107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5975/10107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5975 ÷ 214
    5975 ÷ 16384     		x = 0.36468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10107 ÷ 214
    10107 ÷ 16384     		y = 0.61688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.2706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85020885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.73439330217926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85020885} λ = -0.85020885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.73439330217926))-π/2
    2×atan(0.47979646215846)-π/2
    2×0.44735453789888-π/2
    0.89470907579776-1.57079632675     		φ = -0.67608725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85020885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.713379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67608725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.736946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5975 KachelY 10107 -0.85020885 -0.67608725 -48.713379 -38.736946
    Oben rechts KachelX + 1 5976 KachelY 10107 -0.84982536 -0.67608725 -48.691406 -38.736946
    Unten links KachelX 5975 KachelY + 1 10108 -0.85020885 -0.67638635 -48.713379 -38.754083
    Unten rechts KachelX + 1 5976 KachelY + 1 10108 -0.84982536 -0.67638635 -48.691406 -38.754083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67608725--0.67638635) × R
    0.000299099999999997 × 6371000     		dl = 1905.56609999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67608725--0.67638635) × R
    0.000299099999999997 × 6371000     		dr = 1905.56609999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85020885--0.84982536) × cos(-0.67608725) × R
    0.000383490000000042 × 0.780027070216991 × 6371000     		do = 1905.77367455473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85020885--0.84982536) × cos(-0.67638635) × R
    0.000383490000000042 × 0.779839874768796 × 6371000     		du = 1905.31631586708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67608725)-sin(-0.67638635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780027070216991-0.779839874768796)×R²
    abs(-0.84982536--0.85020885)×0.000187195448195232×R²
    0.000383490000000042×0.000187195448195232×6371000²
    0.000383490000000042×0.000187195448195232×40589641000000     		ar = 3631141.97196871m²