Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59748 / 59139
↖ ↑ ↗
← S 80.875441°
E148.205566°		 ← 96.87 m → S 80.875441°
E148.211060°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
S 80.876312°
E148.205566°		 ← 96.86 m →
9 380 m²		 S 80.876312°
E148.211060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911689758300781 y=0.902397155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911689758300781 × 216)
    floor (0.911689758300781 × 65536)
    floor (59748.5)     		tx = 59748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902397155761719 × 216)
    floor (0.902397155761719 × 65536)
    floor (59139.5)     		ty = 59139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59748 / 59139 ti = "16/59748/59139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59748/59139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59748 ÷ 216
    59748 ÷ 65536     		x = 0.91168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59139 ÷ 216
    59139 ÷ 65536     		y = 0.902389526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91168212890625 × 2 - 1) × π
    0.8233642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58667510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902389526367188 × 2 - 1) × π
    -0.804779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.528287959761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58667510} λ = 2.58667510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.528287959761))-π/2
    2×atan(0.0797955165442299)-π/2
    2×0.0796267993282783-π/2
    0.159253598656557-1.57079632675     		φ = -1.41154273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58667510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.205566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41154273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.875441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59748 KachelY 59139 2.58667510 -1.41154273 148.205566 -80.875441
    Oben rechts KachelX + 1 59749 KachelY 59139 2.58677098 -1.41154273 148.211060 -80.875441
    Unten links KachelX 59748 KachelY + 1 59140 2.58667510 -1.41155793 148.205566 -80.876312
    Unten rechts KachelX + 1 59749 KachelY + 1 59140 2.58677098 -1.41155793 148.211060 -80.876312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41154273--1.41155793) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41154273--1.41155793) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58667510-2.58677098) × cos(-1.41154273) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158581292694691 × 6371000     		do = 96.8696173428019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58667510-2.58677098) × cos(-1.41155793) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158566285018328 × 6371000     		du = 96.8604498814841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41154273)-sin(-1.41155793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158581292694691-0.158566285018328)×R²
    abs(2.58677098-2.58667510)×1.50076763632823e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50076763632823e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50076763632823e-05×40589641000000     		ar = 9380.33236309872m²