Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59747 / 82729
↖ ↑ ↗
← S 42.635979°
W 15.899963°		 ← 224.65 m → S 42.635979°
W 15.897217°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 42.638000°
W 15.899963°		 ← 224.64 m →
50 464 m²		 S 42.638000°
W 15.897217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455837249755859 y=0.631175994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455837249755859 × 217)
    floor (0.455837249755859 × 131072)
    floor (59747.5)     		tx = 59747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631175994873047 × 217)
    floor (0.631175994873047 × 131072)
    floor (82729.5)     		ty = 82729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59747 / 82729 ti = "17/59747/82729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59747/82729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59747 ÷ 217
    59747 ÷ 131072     		x = 0.455833435058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82729 ÷ 217
    82729 ÷ 131072     		y = 0.631172180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455833435058594 × 2 - 1) × π
    -0.0883331298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27750671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631172180175781 × 2 - 1) × π
    -0.262344360351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.824179115167625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27750671} λ = -0.27750671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824179115167625))-π/2
    2×atan(0.438594880616433)-π/2
    2×0.413329053770017-π/2
    0.826658107540034-1.57079632675     		φ = -0.74413822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27750671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.899963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74413822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.635979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59747 KachelY 82729 -0.27750671 -0.74413822 -15.899963 -42.635979
    Oben rechts KachelX + 1 59748 KachelY 82729 -0.27745878 -0.74413822 -15.897217 -42.635979
    Unten links KachelX 59747 KachelY + 1 82730 -0.27750671 -0.74417348 -15.899963 -42.638000
    Unten rechts KachelX + 1 59748 KachelY + 1 82730 -0.27745878 -0.74417348 -15.897217 -42.638000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74413822--0.74417348) × R
    3.52600000000924e-05 × 6371000     		dl = 224.641460000589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74413822--0.74417348) × R
    3.52600000000924e-05 × 6371000     		dr = 224.641460000589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27750671--0.27745878) × cos(-0.74413822) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.735671891893911 × 6371000     		do = 224.646262322542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27750671--0.27745878) × cos(-0.74417348) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.735648008496082 × 6371000     		du = 224.638969239698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74413822)-sin(-0.74417348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735671891893911-0.735648008496082)×R²
    abs(-0.27745878--0.27750671)×2.38833978285502e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38833978285502e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38833978285502e-05×40589641000000     		ar = 50464.0451926449m²