Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59746 / 27322
↖ ↑ ↗
← N 71.806556°
W 15.902710°		 ← 95.36 m → N 71.806556°
W 15.899963°		 →
↑
95.31 m
↓
↑
95.31 m
↓
N 71.805699°
W 15.902710°		 ← 95.37 m →
9 089 m²		 N 71.805699°
W 15.899963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455829620361328 y=0.208454132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455829620361328 × 217)
    floor (0.455829620361328 × 131072)
    floor (59746.5)     		tx = 59746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208454132080078 × 217)
    floor (0.208454132080078 × 131072)
    floor (27322.5)     		ty = 27322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59746 / 27322 ti = "17/59746/27322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59746/27322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59746 ÷ 217
    59746 ÷ 131072     		x = 0.455825805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27322 ÷ 217
    27322 ÷ 131072     		y = 0.208450317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455825805664062 × 2 - 1) × π
    -0.088348388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27755465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208450317382812 × 2 - 1) × π
    0.583099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83186068208083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27755465} λ = -0.27755465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83186068208083))-π/2
    2×atan(6.24549673770764)-π/2
    2×1.41202857966108-π/2
    2.82405715932215-1.57079632675     		φ = 1.25326083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27755465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.902710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25326083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.806556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59746 KachelY 27322 -0.27755465 1.25326083 -15.902710 71.806556
    Oben rechts KachelX + 1 59747 KachelY 27322 -0.27750671 1.25326083 -15.899963 71.806556
    Unten links KachelX 59746 KachelY + 1 27323 -0.27755465 1.25324587 -15.902710 71.805699
    Unten rechts KachelX + 1 59747 KachelY + 1 27323 -0.27750671 1.25324587 -15.899963 71.805699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25326083-1.25324587) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dl = 95.3101600007602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25326083-1.25324587) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dr = 95.3101600007602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27755465--0.27750671) × cos(1.25326083) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312226213951077 × 6371000     		do = 95.3619224434539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27755465--0.27750671) × cos(1.25324587) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.3122404260326 × 6371000     		du = 95.36626317897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25326083)-sin(1.25324587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312226213951077-0.3122404260326)×R²
    abs(-0.27750671--0.27755465)×1.4212081522913e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.4212081522913e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.4212081522913e-05×40589641000000     		ar = 9089.16694431798m²