Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59745 / 82731
↖ ↑ ↗
← S 42.640020°
W 15.905457°		 ← 224.68 m → S 42.640020°
W 15.902710°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 42.642041°
W 15.905457°		 ← 224.67 m →
50 471 m²		 S 42.642041°
W 15.902710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455821990966797 y=0.631191253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455821990966797 × 217)
    floor (0.455821990966797 × 131072)
    floor (59745.5)     		tx = 59745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631191253662109 × 217)
    floor (0.631191253662109 × 131072)
    floor (82731.5)     		ty = 82731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59745 / 82731 ti = "17/59745/82731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59745/82731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59745 ÷ 217
    59745 ÷ 131072     		x = 0.455818176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82731 ÷ 217
    82731 ÷ 131072     		y = 0.631187438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455818176269531 × 2 - 1) × π
    -0.0883636474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27760259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631187438964844 × 2 - 1) × π
    -0.262374877929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.824274988966866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27760259} λ = -0.27760259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824274988966866))-π/2
    2×atan(0.438552832874571)-π/2
    2×0.413293789085426-π/2
    0.826587578170851-1.57079632675     		φ = -0.74420875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27760259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.905457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74420875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.640020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59745 KachelY 82731 -0.27760259 -0.74420875 -15.905457 -42.640020
    Oben rechts KachelX + 1 59746 KachelY 82731 -0.27755465 -0.74420875 -15.902710 -42.640020
    Unten links KachelX 59745 KachelY + 1 82732 -0.27760259 -0.74424401 -15.905457 -42.642041
    Unten rechts KachelX + 1 59746 KachelY + 1 82732 -0.27755465 -0.74424401 -15.902710 -42.642041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74420875--0.74424401) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74420875--0.74424401) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27760259--0.27755465) × cos(-0.74420875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735624117409747 × 6371000     		do = 224.678540421571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27760259--0.27755465) × cos(-0.74424401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735600232182474 × 6371000     		du = 224.671245258357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74420875)-sin(-0.74424401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735624117409747-0.735600232182474)×R²
    abs(-0.27755465--0.27760259)×2.38852272728129e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38852272728129e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38852272728129e-05×40589641000000     		ar = 50471.2959581964m²