Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59744 / 58208
↖ ↑ ↗
← S 80.027655°
E148.183594°		 ← 105.77 m → S 80.027655°
E148.189087°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
S 80.028606°
E148.183594°		 ← 105.76 m →
11 186 m²		 S 80.028606°
E148.189087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911628723144531 y=0.888191223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911628723144531 × 216)
    floor (0.911628723144531 × 65536)
    floor (59744.5)     		tx = 59744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.888191223144531 × 216)
    floor (0.888191223144531 × 65536)
    floor (58208.5)     		ty = 58208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59744 / 58208 ti = "16/59744/58208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59744/58208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59744 ÷ 216
    59744 ÷ 65536     		x = 0.91162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58208 ÷ 216
    58208 ÷ 65536     		y = 0.88818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91162109375 × 2 - 1) × π
    0.8232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58629161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88818359375 × 2 - 1) × π
    -0.7763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.43902945266846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58629161} λ = 2.58629161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.43902945266846))-π/2
    2×atan(0.087245486258177)-π/2
    2×0.0870251274457467-π/2
    0.174050254891493-1.57079632675     		φ = -1.39674607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58629161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39674607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.027655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59744 KachelY 58208 2.58629161 -1.39674607 148.183594 -80.027655
    Oben rechts KachelX + 1 59745 KachelY 58208 2.58638748 -1.39674607 148.189087 -80.027655
    Unten links KachelX 59744 KachelY + 1 58209 2.58629161 -1.39676267 148.183594 -80.028606
    Unten rechts KachelX + 1 59745 KachelY + 1 58209 2.58638748 -1.39676267 148.189087 -80.028606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39674607--1.39676267) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dl = 105.758599999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39674607--1.39676267) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dr = 105.758599999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58629161-2.58638748) × cos(-1.39674607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173172821871163 × 6371000     		do = 105.771841695292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58629161-2.58638748) × cos(-1.39676267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173156472649188 × 6371000     		du = 105.761855790461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39674607)-sin(-1.39676267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173172821871163-0.173156472649188)×R²
    abs(2.58638748-2.58629161)×1.63492219751316e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63492219751316e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63492219751316e-05×40589641000000     		ar = 11185.7538494416m²