Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59744 / 56544
↖ ↑ ↗
← N 23.966176°
W 15.908203°		 ← 279.04 m → N 23.966176°
W 15.905457°		 →
↑
279.11 m
↓
↑
279.11 m
↓
N 23.963666°
W 15.908203°		 ← 279.04 m →
77 883 m²		 N 23.963666°
W 15.905457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455814361572266 y=0.431400299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455814361572266 × 217)
    floor (0.455814361572266 × 131072)
    floor (59744.5)     		tx = 59744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431400299072266 × 217)
    floor (0.431400299072266 × 131072)
    floor (56544.5)     		ty = 56544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59744 / 56544 ti = "17/59744/56544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59744/56544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59744 ÷ 217
    59744 ÷ 131072     		x = 0.455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56544 ÷ 217
    56544 ÷ 131072     		y = 0.431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.08837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27765052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431396484375 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.431048601383545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27765052} λ = -0.27765052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431048601383545))-π/2
    2×atan(1.53887033936701)-π/2
    2×0.994542502424617-π/2
    1.98908500484923-1.57079632675     		φ = 0.41828868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27765052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41828868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.966176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59744 KachelY 56544 -0.27765052 0.41828868 -15.908203 23.966176
    Oben rechts KachelX + 1 59745 KachelY 56544 -0.27760259 0.41828868 -15.905457 23.966176
    Unten links KachelX 59744 KachelY + 1 56545 -0.27765052 0.41824487 -15.908203 23.963666
    Unten rechts KachelX + 1 59745 KachelY + 1 56545 -0.27760259 0.41824487 -15.905457 23.963666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41828868-0.41824487) × R
    4.3810000000033e-05 × 6371000     		dl = 279.11351000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41828868-0.41824487) × R
    4.3810000000033e-05 × 6371000     		dr = 279.11351000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27765052--0.27760259) × cos(0.41828868) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.913785411547057 × 6371000     		do = 279.035368254566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27765052--0.27760259) × cos(0.41824487) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.913803206172501 × 6371000     		du = 279.040802057514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41828868)-sin(0.41824487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913785411547057-0.913803206172501)×R²
    abs(-0.27760259--0.27765052)×1.77946254438233e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77946254438233e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77946254438233e-05×40589641000000     		ar = 77883.2993840966m²