Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59743 / 59163
↖ ↑ ↗
← S 80.896324°
E148.178100°		 ← 96.65 m → S 80.896324°
E148.183594°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
S 80.897193°
E148.178100°		 ← 96.64 m →
9 341 m²		 S 80.897193°
E148.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911613464355469 y=0.902763366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911613464355469 × 216)
    floor (0.911613464355469 × 65536)
    floor (59743.5)     		tx = 59743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902763366699219 × 216)
    floor (0.902763366699219 × 65536)
    floor (59163.5)     		ty = 59163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59743 / 59163 ti = "16/59743/59163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59743/59163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59743 ÷ 216
    59743 ÷ 65536     		x = 0.911605834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59163 ÷ 216
    59163 ÷ 65536     		y = 0.902755737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911605834960938 × 2 - 1) × π
    0.823211669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58619573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902755737304688 × 2 - 1) × π
    -0.805511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53058893094276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58619573} λ = 2.58619573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53058893094276))-π/2
    2×atan(0.0796121204357234)-π/2
    2×0.0794445609259281-π/2
    0.158889121851856-1.57079632675     		φ = -1.41190720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58619573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.178100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41190720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.896324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59743 KachelY 59163 2.58619573 -1.41190720 148.178100 -80.896324
    Oben rechts KachelX + 1 59744 KachelY 59163 2.58629161 -1.41190720 148.183594 -80.896324
    Unten links KachelX 59743 KachelY + 1 59164 2.58619573 -1.41192237 148.178100 -80.897193
    Unten rechts KachelX + 1 59744 KachelY + 1 59164 2.58629161 -1.41192237 148.183594 -80.897193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41190720--1.41192237) × R
    1.51700000001753e-05 × 6371000     		dl = 96.648070001117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41190720--1.41192237) × R
    1.51700000001753e-05 × 6371000     		dr = 96.648070001117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58619573-2.58629161) × cos(-1.41190720) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158221424200903 × 6371000     		do = 96.6497911407663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58619573-2.58629161) × cos(-1.41192237) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158206445269229 × 6371000     		du = 96.6406412381839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41190720)-sin(-1.41192237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158221424200903-0.158206445269229)×R²
    abs(2.58629161-2.58619573)×1.49789316747917e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49789316747917e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49789316747917e-05×40589641000000     		ar = 9340.57361966765m²