Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59743 / 35727
↖ ↑ ↗
← N 63.056204°
W 15.910950°		 ← 138.39 m → N 63.056204°
W 15.908203°		 →
↑
138.38 m
↓
↑
138.38 m
↓
N 63.054959°
W 15.910950°		 ← 138.40 m →
19 151 m²		 N 63.054959°
W 15.908203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455806732177734 y=0.272579193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455806732177734 × 217)
    floor (0.455806732177734 × 131072)
    floor (59743.5)     		tx = 59743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272579193115234 × 217)
    floor (0.272579193115234 × 131072)
    floor (35727.5)     		ty = 35727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59743 / 35727 ti = "17/59743/35727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59743/35727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59743 ÷ 217
    59743 ÷ 131072     		x = 0.455802917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35727 ÷ 217
    35727 ÷ 131072     		y = 0.272575378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455802917480469 × 2 - 1) × π
    -0.0883941650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27769846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272575378417969 × 2 - 1) × π
    0.454849243164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.42895104077425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27769846} λ = -0.27769846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42895104077425))-π/2
    2×atan(4.17431820499429)-π/2
    2×1.33566734895543-π/2
    2.67133469791087-1.57079632675     		φ = 1.10053837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27769846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.910950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10053837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.056204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59743 KachelY 35727 -0.27769846 1.10053837 -15.910950 63.056204
    Oben rechts KachelX + 1 59744 KachelY 35727 -0.27765052 1.10053837 -15.908203 63.056204
    Unten links KachelX 59743 KachelY + 1 35728 -0.27769846 1.10051665 -15.910950 63.054959
    Unten rechts KachelX + 1 59744 KachelY + 1 35728 -0.27765052 1.10051665 -15.908203 63.054959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10053837-1.10051665) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dl = 138.378119999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10053837-1.10051665) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dr = 138.378119999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27769846--0.27765052) × cos(1.10053837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453116256406659 × 6371000     		do = 138.393367918943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27769846--0.27765052) × cos(1.10051665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453135618624911 × 6371000     		du = 138.39928163878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10053837)-sin(1.10051665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453116256406659-0.453135618624911)×R²
    abs(-0.27765052--0.27769846)×1.93622182519393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93622182519393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93622182519393e-05×40589641000000     		ar = 19151.023238362m²