Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59742 / 82851
↖ ↑ ↗
← S 42.882002°
W 15.913696°		 ← 223.80 m → S 42.882002°
W 15.910950°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
S 42.884015°
W 15.913696°		 ← 223.80 m →
50 075 m²		 S 42.884015°
W 15.910950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455799102783203 y=0.632106781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455799102783203 × 217)
    floor (0.455799102783203 × 131072)
    floor (59742.5)     		tx = 59742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632106781005859 × 217)
    floor (0.632106781005859 × 131072)
    floor (82851.5)     		ty = 82851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59742 / 82851 ti = "17/59742/82851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59742/82851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59742 ÷ 217
    59742 ÷ 131072     		x = 0.455795288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82851 ÷ 217
    82851 ÷ 131072     		y = 0.632102966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455795288085938 × 2 - 1) × π
    -0.088409423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27774640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632102966308594 × 2 - 1) × π
    -0.264205932617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.830027416921272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27774640} λ = -0.27774640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830027416921272))-π/2
    2×atan(0.436037331356467)-π/2
    2×0.411182099925294-π/2
    0.822364199850587-1.57079632675     		φ = -0.74843213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27774640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.913696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74843213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.882002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59742 KachelY 82851 -0.27774640 -0.74843213 -15.913696 -42.882002
    Oben rechts KachelX + 1 59743 KachelY 82851 -0.27769846 -0.74843213 -15.910950 -42.882002
    Unten links KachelX 59742 KachelY + 1 82852 -0.27774640 -0.74846725 -15.913696 -42.884015
    Unten rechts KachelX + 1 59743 KachelY + 1 82852 -0.27769846 -0.74846725 -15.910950 -42.884015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74843213--0.74846725) × R
    3.51200000000551e-05 × 6371000     		dl = 223.749520000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74843213--0.74846725) × R
    3.51200000000551e-05 × 6371000     		dr = 223.749520000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27774640--0.27769846) × cos(-0.74843213) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.73275669007406 × 6371000     		do = 223.802754305933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27774640--0.27769846) × cos(-0.74846725) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.732732790787743 × 6371000     		du = 223.795454848724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74843213)-sin(-0.74846725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73275669007406-0.732732790787743)×R²
    abs(-0.27769846--0.27774640)×2.38992863170751e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38992863170751e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38992863170751e-05×40589641000000     		ar = 50074.9422308023m²