Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59742 / 59336
↖ ↑ ↗
← S 81.045460°
E148.172607°		 ← 95.07 m → S 81.045460°
E148.178100°		 →
↑
95.06 m
↓
↑
95.06 m
↓
S 81.046315°
E148.172607°		 ← 95.06 m →
9 036 m²		 S 81.046315°
E148.178100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911598205566406 y=0.905403137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911598205566406 × 216)
    floor (0.911598205566406 × 65536)
    floor (59742.5)     		tx = 59742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905403137207031 × 216)
    floor (0.905403137207031 × 65536)
    floor (59336.5)     		ty = 59336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59742 / 59336 ti = "16/59742/59336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59742/59336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59742 ÷ 216
    59742 ÷ 65536     		x = 0.911590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59336 ÷ 216
    59336 ÷ 65536     		y = 0.9053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911590576171875 × 2 - 1) × π
    0.82318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58609986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5471750982113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58609986} λ = 2.58609986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5471750982113))-π/2
    2×atan(0.0783025508812609)-π/2
    2×0.0781431051675409-π/2
    0.156286210335082-1.57079632675     		φ = -1.41451012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58609986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.172607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41451012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.045460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59742 KachelY 59336 2.58609986 -1.41451012 148.172607 -81.045460
    Oben rechts KachelX + 1 59743 KachelY 59336 2.58619573 -1.41451012 148.178100 -81.045460
    Unten links KachelX 59742 KachelY + 1 59337 2.58609986 -1.41452504 148.172607 -81.046315
    Unten rechts KachelX + 1 59743 KachelY + 1 59337 2.58619573 -1.41452504 148.178100 -81.046315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41451012--1.41452504) × R
    1.49199999999183e-05 × 6371000     		dl = 95.0553199994797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41451012--1.41452504) × R
    1.49199999999183e-05 × 6371000     		dr = 95.0553199994797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58609986-2.58619573) × cos(-1.41451012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155650758387442 × 6371000     		do = 95.0695796142722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58609986-2.58619573) × cos(-1.41452504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155636020212857 × 6371000     		du = 95.0605777174838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41451012)-sin(-1.41452504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155650758387442-0.155636020212857)×R²
    abs(2.58619573-2.58609986)×1.47381745846109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47381745846109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47381745846109e-05×40589641000000     		ar = 9036.44147339455m²