Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59742 / 35743
↖ ↑ ↗
← N 63.036285°
W 15.913696°		 ← 138.49 m → N 63.036285°
W 15.910950°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
N 63.035039°
W 15.913696°		 ← 138.49 m →
19 182 m²		 N 63.035039°
W 15.910950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455799102783203 y=0.272701263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455799102783203 × 217)
    floor (0.455799102783203 × 131072)
    floor (59742.5)     		tx = 59742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272701263427734 × 217)
    floor (0.272701263427734 × 131072)
    floor (35743.5)     		ty = 35743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59742 / 35743 ti = "17/59742/35743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59742/35743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59742 ÷ 217
    59742 ÷ 131072     		x = 0.455795288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35743 ÷ 217
    35743 ÷ 131072     		y = 0.272697448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455795288085938 × 2 - 1) × π
    -0.088409423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27774640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272697448730469 × 2 - 1) × π
    0.454605102539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.42818405038033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27774640} λ = -0.27774640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42818405038033))-π/2
    2×atan(4.17111777053803)-π/2
    2×1.33549352163221-π/2
    2.67098704326441-1.57079632675     		φ = 1.10019072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27774640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.913696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10019072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.036285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59742 KachelY 35743 -0.27774640 1.10019072 -15.913696 63.036285
    Oben rechts KachelX + 1 59743 KachelY 35743 -0.27769846 1.10019072 -15.910950 63.036285
    Unten links KachelX 59742 KachelY + 1 35744 -0.27774640 1.10016898 -15.913696 63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 59743 KachelY + 1 35744 -0.27769846 1.10016898 -15.910950 63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10019072-1.10016898) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10019072-1.10016898) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27774640--0.27769846) × cos(1.10019072) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453426142109317 × 6371000     		do = 138.488014989153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27774640--0.27769846) × cos(1.10016898) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 138.49393310803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10019072)-sin(1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453426142109317-0.453445518730545)×R²
    abs(-0.27769846--0.27774640)×1.93766212271407e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93766212271407e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93766212271407e-05×40589641000000     		ar = 19181.7671465705m²