Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59741 / 85113
↖ ↑ ↗
← S 47.266184°
W 15.916443°		 ← 207.22 m → S 47.266184°
W 15.913696°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
S 47.268048°
W 15.916443°		 ← 207.21 m →
42 945 m²		 S 47.268048°
W 15.913696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455791473388672 y=0.649364471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455791473388672 × 217)
    floor (0.455791473388672 × 131072)
    floor (59741.5)     		tx = 59741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649364471435547 × 217)
    floor (0.649364471435547 × 131072)
    floor (85113.5)     		ty = 85113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59741 / 85113 ti = "17/59741/85113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59741/85113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59741 ÷ 217
    59741 ÷ 131072     		x = 0.455787658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85113 ÷ 217
    85113 ÷ 131072     		y = 0.649360656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455787658691406 × 2 - 1) × π
    -0.0884246826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27779433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649360656738281 × 2 - 1) × π
    -0.298721313476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.938460683861839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27779433} λ = -0.27779433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938460683861839))-π/2
    2×atan(0.391229598122247)-π/2
    2×0.3729228962323-π/2
    0.7458457924646-1.57079632675     		φ = -0.82495053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27779433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.916443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82495053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.266184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59741 KachelY 85113 -0.27779433 -0.82495053 -15.916443 -47.266184
    Oben rechts KachelX + 1 59742 KachelY 85113 -0.27774640 -0.82495053 -15.913696 -47.266184
    Unten links KachelX 59741 KachelY + 1 85114 -0.27779433 -0.82498306 -15.916443 -47.268048
    Unten rechts KachelX + 1 59742 KachelY + 1 85114 -0.27774640 -0.82498306 -15.913696 -47.268048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82495053--0.82498306) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dl = 207.248630000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82495053--0.82498306) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dr = 207.248630000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27779433--0.27774640) × cos(-0.82495053) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.678593302872303 × 6371000     		do = 207.216628509378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27779433--0.27774640) × cos(-0.82498306) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.67856940876591 × 6371000     		du = 207.209332156545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82495053)-sin(-0.82498306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678593302872303-0.67856940876591)×R²
    abs(-0.27774640--0.27779433)×2.38941063931408e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38941063931408e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38941063931408e-05×40589641000000     		ar = 42944.6062959038m²