Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59741 / 59167
↖ ↑ ↗
← S 80.899800°
E148.167114°		 ← 96.60 m → S 80.899800°
E148.172607°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
S 80.900668°
E148.167114°		 ← 96.59 m →
9 330 m²		 S 80.900668°
E148.172607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911582946777344 y=0.902824401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911582946777344 × 216)
    floor (0.911582946777344 × 65536)
    floor (59741.5)     		tx = 59741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902824401855469 × 216)
    floor (0.902824401855469 × 65536)
    floor (59167.5)     		ty = 59167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59741 / 59167 ti = "16/59741/59167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59741/59167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59741 ÷ 216
    59741 ÷ 65536     		x = 0.911575317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59167 ÷ 216
    59167 ÷ 65536     		y = 0.902816772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911575317382812 × 2 - 1) × π
    0.823150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58600399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902816772460938 × 2 - 1) × π
    -0.805633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53097242613972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58600399} λ = 2.58600399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53097242613972))-π/2
    2×atan(0.0795815954233884)-π/2
    2×0.0794142280921109-π/2
    0.158828456184222-1.57079632675     		φ = -1.41196787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58600399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.167114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41196787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.899800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59741 KachelY 59167 2.58600399 -1.41196787 148.167114 -80.899800
    Oben rechts KachelX + 1 59742 KachelY 59167 2.58609986 -1.41196787 148.172607 -80.899800
    Unten links KachelX 59741 KachelY + 1 59168 2.58600399 -1.41198303 148.167114 -80.900668
    Unten rechts KachelX + 1 59742 KachelY + 1 59168 2.58609986 -1.41198303 148.172607 -80.900668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41196787--1.41198303) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41196787--1.41198303) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58600399-2.58609986) × cos(-1.41196787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158161518129904 × 6371000     		do = 96.6031209583765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58600399-2.58609986) × cos(-1.41198303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158146548926799 × 6371000     		du = 96.5939779521934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41196787)-sin(-1.41198303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158161518129904-0.158146548926799)×R²
    abs(2.58609986-2.58600399)×1.49692031049253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49692031049253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49692031049253e-05×40589641000000     		ar = 9329.90907657179m²