Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59740 / 59146
↖ ↑ ↗
← S 80.881537°
E148.161621°		 ← 96.81 m → S 80.881537°
E148.167114°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
S 80.882407°
E148.161621°		 ← 96.80 m →
9 368 m²		 S 80.882407°
E148.167114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911567687988281 y=0.902503967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911567687988281 × 216)
    floor (0.911567687988281 × 65536)
    floor (59740.5)     		tx = 59740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902503967285156 × 216)
    floor (0.902503967285156 × 65536)
    floor (59146.5)     		ty = 59146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59740 / 59146 ti = "16/59740/59146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59740/59146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59740 ÷ 216
    59740 ÷ 65536     		x = 0.91156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59146 ÷ 216
    59146 ÷ 65536     		y = 0.902496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91156005859375 × 2 - 1) × π
    0.8231201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58590811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.80499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52895907635568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58590811} λ = 2.58590811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52895907635568))-π/2
    2×atan(0.0797419824147266)-π/2
    2×0.0795736036855026-π/2
    0.159147207371005-1.57079632675     		φ = -1.41164912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58590811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.161621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41164912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.881537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59740 KachelY 59146 2.58590811 -1.41164912 148.161621 -80.881537
    Oben rechts KachelX + 1 59741 KachelY 59146 2.58600399 -1.41164912 148.167114 -80.881537
    Unten links KachelX 59740 KachelY + 1 59147 2.58590811 -1.41166431 148.161621 -80.882407
    Unten rechts KachelX + 1 59741 KachelY + 1 59147 2.58600399 -1.41166431 148.167114 -80.882407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41164912--1.41166431) × R
    1.51899999998317e-05 × 6371000     		dl = 96.7754899989279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41164912--1.41166431) × R
    1.51899999998317e-05 × 6371000     		dr = 96.7754899989279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58590811-2.58600399) × cos(-1.41164912) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158476248064559 × 6371000     		do = 96.8054506750198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58590811-2.58600399) × cos(-1.41166431) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158461250005499 × 6371000     		du = 96.7962890884457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41164912)-sin(-1.41166431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158476248064559-0.158461250005499)×R²
    abs(2.58600399-2.58590811)×1.49980590603005e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49980590603005e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49980590603005e-05×40589641000000     		ar = 9367.95161532584m²