Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59739 / 59201
↖ ↑ ↗
← S 80.929292°
E148.156128°		 ← 96.29 m → S 80.929292°
E148.161621°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
S 80.930158°
E148.156128°		 ← 96.28 m →
9 275 m²		 S 80.930158°
E148.161621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911552429199219 y=0.903343200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911552429199219 × 216)
    floor (0.911552429199219 × 65536)
    floor (59739.5)     		tx = 59739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903343200683594 × 216)
    floor (0.903343200683594 × 65536)
    floor (59201.5)     		ty = 59201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59739 / 59201 ti = "16/59739/59201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59739/59201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59739 ÷ 216
    59739 ÷ 65536     		x = 0.911544799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59201 ÷ 216
    59201 ÷ 65536     		y = 0.903335571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911544799804688 × 2 - 1) × π
    0.823089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58581224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903335571289062 × 2 - 1) × π
    -0.806671142578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53423213531389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58581224} λ = 2.58581224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53423213531389))-π/2
    2×atan(0.0793226049128934)-π/2
    2×0.0791568622400184-π/2
    0.158313724480037-1.57079632675     		φ = -1.41248260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58581224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.156128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41248260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.929292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59739 KachelY 59201 2.58581224 -1.41248260 148.156128 -80.929292
    Oben rechts KachelX + 1 59740 KachelY 59201 2.58590811 -1.41248260 148.161621 -80.929292
    Unten links KachelX 59739 KachelY + 1 59202 2.58581224 -1.41249772 148.156128 -80.930158
    Unten rechts KachelX + 1 59740 KachelY + 1 59202 2.58590811 -1.41249772 148.161621 -80.930158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41248260--1.41249772) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41248260--1.41249772) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58581224-2.58590811) × cos(-1.41248260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157653245975907 × 6371000     		do = 96.2926745428833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58581224-2.58590811) × cos(-1.41249772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157638315040537 × 6371000     		du = 96.283554910165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41248260)-sin(-1.41249772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157653245975907-0.157638315040537)×R²
    abs(2.58590811-2.58581224)×1.49309353695004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49309353695004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49309353695004e-05×40589641000000     		ar = 9275.38787356781m²