Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59738 / 86274
↖ ↑ ↗
← S 49.385949°
W 15.924682°		 ← 198.78 m → S 49.385949°
W 15.921936°		 →
↑
198.78 m
↓
↑
198.78 m
↓
S 49.387736°
W 15.924682°		 ← 198.77 m →
39 512 m²		 S 49.387736°
W 15.921936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455768585205078 y=0.658222198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455768585205078 × 217)
    floor (0.455768585205078 × 131072)
    floor (59738.5)     		tx = 59738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658222198486328 × 217)
    floor (0.658222198486328 × 131072)
    floor (86274.5)     		ty = 86274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59738 / 86274 ti = "17/59738/86274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59738/86274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59738 ÷ 217
    59738 ÷ 131072     		x = 0.455764770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86274 ÷ 217
    86274 ÷ 131072     		y = 0.658218383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455764770507812 × 2 - 1) × π
    -0.088470458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27793814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.316436767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.994115424320725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27793814} λ = -0.27793814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994115424320725))-π/2
    2×atan(0.370050637603337)-π/2
    2×0.354424458457432-π/2
    0.708848916914865-1.57079632675     		φ = -0.86194741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27793814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.924682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86194741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.385949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59738 KachelY 86274 -0.27793814 -0.86194741 -15.924682 -49.385949
    Oben rechts KachelX + 1 59739 KachelY 86274 -0.27789021 -0.86194741 -15.921936 -49.385949
    Unten links KachelX 59738 KachelY + 1 86275 -0.27793814 -0.86197861 -15.924682 -49.387736
    Unten rechts KachelX + 1 59739 KachelY + 1 86275 -0.27789021 -0.86197861 -15.921936 -49.387736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86194741--0.86197861) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.775200000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86194741--0.86197861) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.775200000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27793814--0.27789021) × cos(-0.86194741) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.65096040175807 × 6371000     		do = 198.778589730351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27793814--0.27789021) × cos(-0.86197861) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650936717156563 × 6371000     		du = 198.771357352355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86194741)-sin(-0.86197861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65096040175807-0.650936717156563)×R²
    abs(-0.27789021--0.27793814)×2.36846015071457e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36846015071457e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36846015071457e-05×40589641000000     		ar = 39511.535123895m²