Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59738 / 82319
↖ ↑ ↗
← S 41.802031°
W 15.924682°		 ← 227.63 m → S 41.802031°
W 15.921936°		 →
↑
227.64 m
↓
↑
227.64 m
↓
S 41.804078°
W 15.924682°		 ← 227.63 m →
51 817 m²		 S 41.804078°
W 15.921936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455768585205078 y=0.628047943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455768585205078 × 217)
    floor (0.455768585205078 × 131072)
    floor (59738.5)     		tx = 59738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628047943115234 × 217)
    floor (0.628047943115234 × 131072)
    floor (82319.5)     		ty = 82319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59738 / 82319 ti = "17/59738/82319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59738/82319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59738 ÷ 217
    59738 ÷ 131072     		x = 0.455764770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82319 ÷ 217
    82319 ÷ 131072     		y = 0.628044128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455764770507812 × 2 - 1) × π
    -0.088470458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27793814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628044128417969 × 2 - 1) × π
    -0.256088256835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.804524986323402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27793814} λ = -0.27793814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804524986323402))-π/2
    2×atan(0.447300349887113)-π/2
    2×0.420606628269131-π/2
    0.841213256538262-1.57079632675     		φ = -0.72958307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27793814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.924682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72958307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.802031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59738 KachelY 82319 -0.27793814 -0.72958307 -15.924682 -41.802031
    Oben rechts KachelX + 1 59739 KachelY 82319 -0.27789021 -0.72958307 -15.921936 -41.802031
    Unten links KachelX 59738 KachelY + 1 82320 -0.27793814 -0.72961880 -15.924682 -41.804078
    Unten rechts KachelX + 1 59739 KachelY + 1 82320 -0.27789021 -0.72961880 -15.921936 -41.804078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72958307--0.72961880) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dl = 227.635830000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72958307--0.72961880) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dr = 227.635830000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27793814--0.27789021) × cos(-0.72958307) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.745452375526672 × 6371000     		do = 227.632850659023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27793814--0.27789021) × cos(-0.72961880) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.74542855890165 × 6371000     		du = 227.625577966058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72958307)-sin(-0.72961880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745452375526672-0.74542855890165)×R²
    abs(-0.27789021--0.27793814)×2.3816625022377e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3816625022377e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3816625022377e-05×40589641000000     		ar = 51816.5651378502m²