Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59737 / 59191
↖ ↑ ↗
← S 80.920627°
E148.145142°		 ← 96.39 m → S 80.920627°
E148.150635°		 →
↑
96.39 m
↓
↑
96.39 m
↓
S 80.921494°
E148.145142°		 ← 96.38 m →
9 291 m²		 S 80.921494°
E148.150635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911521911621094 y=0.903190612792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911521911621094 × 216)
    floor (0.911521911621094 × 65536)
    floor (59737.5)     		tx = 59737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903190612792969 × 216)
    floor (0.903190612792969 × 65536)
    floor (59191.5)     		ty = 59191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59737 / 59191 ti = "16/59737/59191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59737/59191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59737 ÷ 216
    59737 ÷ 65536     		x = 0.911514282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59191 ÷ 216
    59191 ÷ 65536     		y = 0.903182983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911514282226562 × 2 - 1) × π
    0.823028564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58562049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903182983398438 × 2 - 1) × π
    -0.806365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53327339732149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58562049} λ = 2.58562049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53327339732149))-π/2
    2×atan(0.0793986909753509)-π/2
    2×0.0792324721030215-π/2
    0.158464944206043-1.57079632675     		φ = -1.41233138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58562049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.145142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41233138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.920627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59737 KachelY 59191 2.58562049 -1.41233138 148.145142 -80.920627
    Oben rechts KachelX + 1 59738 KachelY 59191 2.58571637 -1.41233138 148.150635 -80.920627
    Unten links KachelX 59737 KachelY + 1 59192 2.58562049 -1.41234651 148.145142 -80.921494
    Unten rechts KachelX + 1 59738 KachelY + 1 59192 2.58571637 -1.41234651 148.150635 -80.921494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41233138--1.41234651) × R
    1.51300000001964e-05 × 6371000     		dl = 96.3932300012511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41233138--1.41234651) × R
    1.51300000001964e-05 × 6371000     		dr = 96.3932300012511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58562049-2.58571637) × cos(-1.41233138) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157802573096153 × 6371000     		do = 96.3939353235297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58562049-2.58571637) × cos(-1.41234651) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157787632646672 × 6371000     		du = 96.3848089278524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41233138)-sin(-1.41234651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157802573096153-0.157787632646672)×R²
    abs(2.58571637-2.58562049)×1.4940449480999e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4940449480999e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4940449480999e-05×40589641000000     		ar = 9291.28291727111m²