Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59735 / 59193
↖ ↑ ↗
← S 80.922361°
E148.134155°		 ← 96.38 m → S 80.922361°
E148.139649°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
S 80.923227°
E148.134155°		 ← 96.37 m →
9 283 m²		 S 80.923227°
E148.139649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911491394042969 y=0.903221130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911491394042969 × 216)
    floor (0.911491394042969 × 65536)
    floor (59735.5)     		tx = 59735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903221130371094 × 216)
    floor (0.903221130371094 × 65536)
    floor (59193.5)     		ty = 59193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59735 / 59193 ti = "16/59735/59193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59735/59193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59735 ÷ 216
    59735 ÷ 65536     		x = 0.911483764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59193 ÷ 216
    59193 ÷ 65536     		y = 0.903213500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911483764648438 × 2 - 1) × π
    0.822967529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58542874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903213500976562 × 2 - 1) × π
    -0.806427001953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53346514491997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58542874} λ = 2.58542874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53346514491997))-π/2
    2×atan(0.0793834679265721)-π/2
    2×0.0792173444032796-π/2
    0.158434688806559-1.57079632675     		φ = -1.41236164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58542874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.134155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41236164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.922361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59735 KachelY 59193 2.58542874 -1.41236164 148.134155 -80.922361
    Oben rechts KachelX + 1 59736 KachelY 59193 2.58552462 -1.41236164 148.139649 -80.922361
    Unten links KachelX 59735 KachelY + 1 59194 2.58542874 -1.41237676 148.134155 -80.923227
    Unten rechts KachelX + 1 59736 KachelY + 1 59194 2.58552462 -1.41237676 148.139649 -80.923227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41236164--1.41237676) × R
    1.51199999998131e-05 × 6371000     		dl = 96.329519998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41236164--1.41237676) × R
    1.51199999998131e-05 × 6371000     		dr = 96.329519998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58542874-2.58552462) × cos(-1.41236164) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.157772692161071 × 6371000     		do = 96.3756825105575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58542874-2.58552462) × cos(-1.41237676) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.157757761514131 × 6371000     		du = 96.3665621027773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41236164)-sin(-1.41237676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157772692161071-0.157757761514131)×R²
    abs(2.58552462-2.58542874)×1.49306469392763e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.49306469392763e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.49306469392763e-05×40589641000000     		ar = 9283.38395367694m²