Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59732 / 85110
↖ ↑ ↗
← S 47.260592°
W 15.941162°		 ← 207.28 m → S 47.260592°
W 15.938416°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
S 47.262456°
W 15.941162°		 ← 207.27 m →
42 958 m²		 S 47.262456°
W 15.938416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455722808837891 y=0.649341583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455722808837891 × 217)
    floor (0.455722808837891 × 131072)
    floor (59732.5)     		tx = 59732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649341583251953 × 217)
    floor (0.649341583251953 × 131072)
    floor (85110.5)     		ty = 85110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59732 / 85110 ti = "17/59732/85110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59732/85110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59732 ÷ 217
    59732 ÷ 131072     		x = 0.455718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85110 ÷ 217
    85110 ÷ 131072     		y = 0.649337768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455718994140625 × 2 - 1) × π
    -0.08856201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27822577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649337768554688 × 2 - 1) × π
    -0.298675537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.938316873162979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27822577} λ = -0.27822577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938316873162979))-π/2
    2×atan(0.391285865169973)-π/2
    2×0.372971693297754-π/2
    0.745943386595508-1.57079632675     		φ = -0.82485294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27822577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.941162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82485294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.260592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59732 KachelY 85110 -0.27822577 -0.82485294 -15.941162 -47.260592
    Oben rechts KachelX + 1 59733 KachelY 85110 -0.27817783 -0.82485294 -15.938416 -47.260592
    Unten links KachelX 59732 KachelY + 1 85111 -0.27822577 -0.82488547 -15.941162 -47.262456
    Unten rechts KachelX + 1 59733 KachelY + 1 85111 -0.27817783 -0.82488547 -15.938416 -47.262456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82485294--0.82488547) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dl = 207.248630000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82485294--0.82488547) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dr = 207.248630000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27822577--0.27817783) × cos(-0.82485294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.678664980882853 × 6371000     		do = 207.281753998095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27822577--0.27817783) × cos(-0.82488547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6786410889308 × 6371000     		du = 207.274456780959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82485294)-sin(-0.82488547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678664980882853-0.6786410889308)×R²
    abs(-0.27817783--0.27822577)×2.38919520531011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38919520531011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38919520531011e-05×40589641000000     		ar = 42958.1033748373m²