Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59732 / 59188
↖ ↑ ↗
← S 80.918027°
E148.117676°		 ← 96.42 m → S 80.918027°
E148.123169°		 →
↑
96.39 m
↓
↑
96.39 m
↓
S 80.918894°
E148.117676°		 ← 96.41 m →
9 294 m²		 S 80.918894°
E148.123169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911445617675781 y=0.903144836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911445617675781 × 216)
    floor (0.911445617675781 × 65536)
    floor (59732.5)     		tx = 59732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903144836425781 × 216)
    floor (0.903144836425781 × 65536)
    floor (59188.5)     		ty = 59188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59732 / 59188 ti = "16/59732/59188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59732/59188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59732 ÷ 216
    59732 ÷ 65536     		x = 0.91143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59188 ÷ 216
    59188 ÷ 65536     		y = 0.90313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91143798828125 × 2 - 1) × π
    0.8228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58514112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90313720703125 × 2 - 1) × π
    -0.8062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53298577592377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58514112} λ = 2.58514112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53298577592377))-π/2
    2×atan(0.0794215310223121)-π/2
    2×0.079255169023976-π/2
    0.158510338047952-1.57079632675     		φ = -1.41228599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58514112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.117676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41228599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.918027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59732 KachelY 59188 2.58514112 -1.41228599 148.117676 -80.918027
    Oben rechts KachelX + 1 59733 KachelY 59188 2.58523700 -1.41228599 148.123169 -80.918027
    Unten links KachelX 59732 KachelY + 1 59189 2.58514112 -1.41230112 148.117676 -80.918894
    Unten rechts KachelX + 1 59733 KachelY + 1 59189 2.58523700 -1.41230112 148.123169 -80.918894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41228599--1.41230112) × R
    1.51299999999743e-05 × 6371000     		dl = 96.3932299998365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41228599--1.41230112) × R
    1.51299999999743e-05 × 6371000     		dr = 96.3932299998365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58514112-2.58523700) × cos(-1.41228599) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157847394227839 × 6371000     		do = 96.4213143781558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58514112-2.58523700) × cos(-1.41230112) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15783245388674 × 6371000     		du = 96.4121880486834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41228599)-sin(-1.41230112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157847394227839-0.15783245388674)×R²
    abs(2.58523700-2.58514112)×1.49403410995008e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49403410995008e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49403410995008e-05×40589641000000     		ar = 9293.92207553263m²