Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59731 / 59127
↖ ↑ ↗
← S 80.864982°
E148.112183°		 ← 96.97 m → S 80.864982°
E148.117676°		 →
↑
96.97 m
↓
↑
96.97 m
↓
S 80.865854°
E148.112183°		 ← 96.96 m →
9 402 m²		 S 80.865854°
E148.117676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911430358886719 y=0.902214050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911430358886719 × 216)
    floor (0.911430358886719 × 65536)
    floor (59731.5)     		tx = 59731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902214050292969 × 216)
    floor (0.902214050292969 × 65536)
    floor (59127.5)     		ty = 59127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59731 / 59127 ti = "16/59731/59127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59731/59127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59731 ÷ 216
    59731 ÷ 65536     		x = 0.911422729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59127 ÷ 216
    59127 ÷ 65536     		y = 0.902206420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911422729492188 × 2 - 1) × π
    0.822845458984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58504525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902206420898438 × 2 - 1) × π
    -0.804412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52713747417012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58504525} λ = 2.58504525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52713747417012))-π/2
    2×atan(0.0798873729658438)-π/2
    2×0.0797180739057691-π/2
    0.159436147811538-1.57079632675     		φ = -1.41136018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58504525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.112183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41136018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.864982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59731 KachelY 59127 2.58504525 -1.41136018 148.112183 -80.864982
    Oben rechts KachelX + 1 59732 KachelY 59127 2.58514112 -1.41136018 148.117676 -80.864982
    Unten links KachelX 59731 KachelY + 1 59128 2.58504525 -1.41137540 148.112183 -80.865854
    Unten rechts KachelX + 1 59732 KachelY + 1 59128 2.58514112 -1.41137540 148.117676 -80.865854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41136018--1.41137540) × R
    1.52200000000935e-05 × 6371000     		dl = 96.9666200005956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41136018--1.41137540) × R
    1.52200000000935e-05 × 6371000     		dr = 96.9666200005956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58504525-2.58514112) × cos(-1.41136018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158761530049792 × 6371000     		do = 96.9696009008986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58504525-2.58514112) × cos(-1.41137540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158746503067296 × 6371000     		du = 96.9604226037696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41136018)-sin(-1.41137540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158761530049792-0.158746503067296)×R²
    abs(2.58514112-2.58504525)×1.50269824965854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50269824965854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50269824965854e-05×40589641000000     		ar = 9402.36944804907m²