Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59731 / 30123
↖ ↑ ↗
← N 69.245446°
W 15.943909°		 ← 108.21 m → N 69.245446°
W 15.941162°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
N 69.244472°
W 15.943909°		 ← 108.21 m →
11 713 m²		 N 69.244472°
W 15.941162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455715179443359 y=0.229824066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455715179443359 × 217)
    floor (0.455715179443359 × 131072)
    floor (59731.5)     		tx = 59731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229824066162109 × 217)
    floor (0.229824066162109 × 131072)
    floor (30123.5)     		ty = 30123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59731 / 30123 ti = "17/59731/30123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59731/30123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59731 ÷ 217
    59731 ÷ 131072     		x = 0.455711364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30123 ÷ 217
    30123 ÷ 131072     		y = 0.229820251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455711364746094 × 2 - 1) × π
    -0.0885772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27827370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229820251464844 × 2 - 1) × π
    0.540359497070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.69758942624505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27827370} λ = -0.27827370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69758942624505))-π/2
    2×atan(5.46076792922393)-π/2
    2×1.38967867261694-π/2
    2.77935734523389-1.57079632675     		φ = 1.20856102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27827370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.943909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20856102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.245446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59731 KachelY 30123 -0.27827370 1.20856102 -15.943909 69.245446
    Oben rechts KachelX + 1 59732 KachelY 30123 -0.27822577 1.20856102 -15.941162 69.245446
    Unten links KachelX 59731 KachelY + 1 30124 -0.27827370 1.20854403 -15.943909 69.244472
    Unten rechts KachelX + 1 59732 KachelY + 1 30124 -0.27822577 1.20854403 -15.941162 69.244472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20856102-1.20854403) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20856102-1.20854403) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27827370--0.27822577) × cos(1.20856102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354365367976491 × 6371000     		do = 108.209728127065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27827370--0.27822577) × cos(1.20854403) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354381255394043 × 6371000     		du = 108.21457954114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20856102)-sin(1.20854403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354365367976491-0.354381255394043)×R²
    abs(-0.27822577--0.27827370)×1.58874175515411e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58874175515411e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58874175515411e-05×40589641000000     		ar = 11713.2395493762m²