Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59730 / 85105
↖ ↑ ↗
← S 47.251271°
W 15.946655°		 ← 207.32 m → S 47.251271°
W 15.943909°		 →
↑
207.31 m
↓
↑
207.31 m
↓
S 47.253136°
W 15.946655°		 ← 207.31 m →
42 979 m²		 S 47.253136°
W 15.943909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455707550048828 y=0.649303436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455707550048828 × 217)
    floor (0.455707550048828 × 131072)
    floor (59730.5)     		tx = 59730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649303436279297 × 217)
    floor (0.649303436279297 × 131072)
    floor (85105.5)     		ty = 85105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59730 / 85105 ti = "17/59730/85105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59730/85105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59730 ÷ 217
    59730 ÷ 131072     		x = 0.455703735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85105 ÷ 217
    85105 ÷ 131072     		y = 0.649299621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455703735351562 × 2 - 1) × π
    -0.088592529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27832164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649299621582031 × 2 - 1) × π
    -0.298599243164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.938077188664879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27832164} λ = -0.27832164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938077188664879))-π/2
    2×atan(0.391379661566502)-π/2
    2×0.373053033194195-π/2
    0.74610606638839-1.57079632675     		φ = -0.82469026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27832164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.946655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82469026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.251271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59730 KachelY 85105 -0.27832164 -0.82469026 -15.946655 -47.251271
    Oben rechts KachelX + 1 59731 KachelY 85105 -0.27827370 -0.82469026 -15.943909 -47.251271
    Unten links KachelX 59730 KachelY + 1 85106 -0.27832164 -0.82472280 -15.946655 -47.253136
    Unten rechts KachelX + 1 59731 KachelY + 1 85106 -0.27827370 -0.82472280 -15.943909 -47.253136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82469026--0.82472280) × R
    3.25399999999698e-05 × 6371000     		dl = 207.312339999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82469026--0.82472280) × R
    3.25399999999698e-05 × 6371000     		dr = 207.312339999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27832164--0.27827370) × cos(-0.82469026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.678784451900282 × 6371000     		do = 207.318243522002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27832164--0.27827370) × cos(-0.82472280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.678760556196367 × 6371000     		du = 207.310945158951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82469026)-sin(-0.82472280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678784451900282-0.678760556196367)×R²
    abs(-0.27827370--0.27832164)×2.38957039149224e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38957039149224e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38957039149224e-05×40589641000000     		ar = 42978.8736727002m²