Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59730 / 27394
↖ ↑ ↗
← N 71.744711°
W 15.946655°		 ← 95.68 m → N 71.744711°
W 15.943909°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
N 71.743851°
W 15.946655°		 ← 95.68 m →
9 156 m²		 N 71.743851°
W 15.943909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455707550048828 y=0.209003448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455707550048828 × 217)
    floor (0.455707550048828 × 131072)
    floor (59730.5)     		tx = 59730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209003448486328 × 217)
    floor (0.209003448486328 × 131072)
    floor (27394.5)     		ty = 27394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59730 / 27394 ti = "17/59730/27394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59730/27394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59730 ÷ 217
    59730 ÷ 131072     		x = 0.455703735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27394 ÷ 217
    27394 ÷ 131072     		y = 0.208999633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455703735351562 × 2 - 1) × π
    -0.088592529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27832164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208999633789062 × 2 - 1) × π
    0.582000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82840922530818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27832164} λ = -0.27832164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82840922530818))-π/2
    2×atan(6.22397783284081)-π/2
    2×1.41148887779579-π/2
    2.82297775559159-1.57079632675     		φ = 1.25218143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27832164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.946655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25218143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.744711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59730 KachelY 27394 -0.27832164 1.25218143 -15.946655 71.744711
    Oben rechts KachelX + 1 59731 KachelY 27394 -0.27827370 1.25218143 -15.943909 71.744711
    Unten links KachelX 59730 KachelY + 1 27395 -0.27832164 1.25216641 -15.946655 71.743851
    Unten rechts KachelX + 1 59731 KachelY + 1 27395 -0.27827370 1.25216641 -15.943909 71.743851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25218143-1.25216641) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25218143-1.25216641) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27832164--0.27827370) × cos(1.25218143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313251470266903 × 6371000     		do = 95.675062112294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27832164--0.27827370) × cos(1.25216641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313265734278189 × 6371000     		du = 95.6794187084967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25218143)-sin(1.25216641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313251470266903-0.313265734278189)×R²
    abs(-0.27827370--0.27832164)×1.42640112869019e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42640112869019e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42640112869019e-05×40589641000000     		ar = 9155.58667402242m²