Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59728 / 59152
↖ ↑ ↗
← S 80.886759°
E148.095703°		 ← 96.74 m → S 80.886759°
E148.101196°		 →
↑
96.71 m
↓
↑
96.71 m
↓
S 80.887628°
E148.095703°		 ← 96.73 m →
9 355 m²		 S 80.887628°
E148.101196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911384582519531 y=0.902595520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911384582519531 × 216)
    floor (0.911384582519531 × 65536)
    floor (59728.5)     		tx = 59728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902595520019531 × 216)
    floor (0.902595520019531 × 65536)
    floor (59152.5)     		ty = 59152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59728 / 59152 ti = "16/59728/59152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59728/59152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59728 ÷ 216
    59728 ÷ 65536     		x = 0.911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59152 ÷ 216
    59152 ÷ 65536     		y = 0.902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911376953125 × 2 - 1) × π
    0.82275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58475763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.80517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52953431915112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58475763} λ = 2.58475763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52953431915112))-π/2
    2×atan(0.0796961246048003)-π/2
    2×0.0795280354674196-π/2
    0.159056070934839-1.57079632675     		φ = -1.41174026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58475763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41174026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.886759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59728 KachelY 59152 2.58475763 -1.41174026 148.095703 -80.886759
    Oben rechts KachelX + 1 59729 KachelY 59152 2.58485350 -1.41174026 148.101196 -80.886759
    Unten links KachelX 59728 KachelY + 1 59153 2.58475763 -1.41175544 148.095703 -80.887628
    Unten rechts KachelX + 1 59729 KachelY + 1 59153 2.58485350 -1.41175544 148.101196 -80.887628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41174026--1.41175544) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dl = 96.7117800007298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41174026--1.41175544) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dr = 96.7117800007298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58475763-2.58485350) × cos(-1.41174026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158386259161825 × 6371000     		do = 96.740390032091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58475763-2.58485350) × cos(-1.41175544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158371270757236 × 6371000     		du = 96.7312352978764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41174026)-sin(-1.41175544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158386259161825-0.158371270757236)×R²
    abs(2.58485350-2.58475763)×1.4988404588745e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4988404588745e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4988404588745e-05×40589641000000     		ar = 9355.49263321561m²