Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59728 / 59123
↖ ↑ ↗
← S 80.861492°
E148.095703°		 ← 97.01 m → S 80.861492°
E148.101196°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
S 80.862365°
E148.095703°		 ← 97 m →
9 412 m²		 S 80.862365°
E148.101196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911384582519531 y=0.902153015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911384582519531 × 216)
    floor (0.911384582519531 × 65536)
    floor (59728.5)     		tx = 59728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902153015136719 × 216)
    floor (0.902153015136719 × 65536)
    floor (59123.5)     		ty = 59123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59728 / 59123 ti = "16/59728/59123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59728/59123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59728 ÷ 216
    59728 ÷ 65536     		x = 0.911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59123 ÷ 216
    59123 ÷ 65536     		y = 0.902145385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911376953125 × 2 - 1) × π
    0.82275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58475763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902145385742188 × 2 - 1) × π
    -0.804290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52675397897316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58475763} λ = 2.58475763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52675397897316))-π/2
    2×atan(0.0799180152648857)-π/2
    2×0.0797485218119625-π/2
    0.159497043623925-1.57079632675     		φ = -1.41129928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58475763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41129928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.861492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59728 KachelY 59123 2.58475763 -1.41129928 148.095703 -80.861492
    Oben rechts KachelX + 1 59729 KachelY 59123 2.58485350 -1.41129928 148.101196 -80.861492
    Unten links KachelX 59728 KachelY + 1 59124 2.58475763 -1.41131451 148.095703 -80.862365
    Unten rechts KachelX + 1 59729 KachelY + 1 59124 2.58485350 -1.41131451 148.101196 -80.862365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41129928--1.41131451) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dl = 97.0303300002084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41129928--1.41131451) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dr = 97.0303300002084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58475763-2.58485350) × cos(-1.41129928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158821657358121 × 6371000     		do = 97.0063259254685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58475763-2.58485350) × cos(-1.41131451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158806620649704 × 6371000     		du = 96.9971416878664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41129928)-sin(-1.41131451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158821657358121-0.158806620649704)×R²
    abs(2.58485350-2.58475763)×1.50367084169323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50367084169323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50367084169323e-05×40589641000000     		ar = 9412.11024230591m²