Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59727 / 59363
↖ ↑ ↗
← S 81.068516°
E148.090210°		 ← 94.84 m → S 81.068516°
E148.095703°		 →
↑
94.80 m
↓
↑
94.80 m
↓
S 81.069368°
E148.090210°		 ← 94.83 m →
8 990 m²		 S 81.069368°
E148.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911369323730469 y=0.905815124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911369323730469 × 216)
    floor (0.911369323730469 × 65536)
    floor (59727.5)     		tx = 59727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905815124511719 × 216)
    floor (0.905815124511719 × 65536)
    floor (59363.5)     		ty = 59363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59727 / 59363 ti = "16/59727/59363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59727/59363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59727 ÷ 216
    59727 ÷ 65536     		x = 0.911361694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59363 ÷ 216
    59363 ÷ 65536     		y = 0.905807495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911361694335938 × 2 - 1) × π
    0.822723388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58466175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905807495117188 × 2 - 1) × π
    -0.811614990234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54976369079079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58466175} λ = 2.58466175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54976369079079))-π/2
    2×atan(0.0781001195981915)-π/2
    2×0.0779419043186385-π/2
    0.155883808637277-1.57079632675     		φ = -1.41491252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58466175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.090210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41491252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.068516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59727 KachelY 59363 2.58466175 -1.41491252 148.090210 -81.068516
    Oben rechts KachelX + 1 59728 KachelY 59363 2.58475763 -1.41491252 148.095703 -81.068516
    Unten links KachelX 59727 KachelY + 1 59364 2.58466175 -1.41492740 148.090210 -81.069368
    Unten rechts KachelX + 1 59728 KachelY + 1 59364 2.58475763 -1.41492740 148.095703 -81.069368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41491252--1.41492740) × R
    1.48800000001614e-05 × 6371000     		dl = 94.8004800010285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41491252--1.41492740) × R
    1.48800000001614e-05 × 6371000     		dr = 94.8004800010285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58466175-2.58475763) × cos(-1.41491252) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155253250187539 × 6371000     		do = 94.8366776518063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58466175-2.58475763) × cos(-1.41492740) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155238550594775 × 6371000     		du = 94.8276983838111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41491252)-sin(-1.41492740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155253250187539-0.155238550594775)×R²
    abs(2.58475763-2.58466175)×1.46995927639837e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46995927639837e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46995927639837e-05×40589641000000     		ar = 8990.1369437218m²