Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59726 / 59382
↖ ↑ ↗
← S 81.084705°
E148.084717°		 ← 94.66 m → S 81.084705°
E148.090210°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
S 81.085556°
E148.084717°		 ← 94.65 m →
8 961 m²		 S 81.085556°
E148.090210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911354064941406 y=0.906105041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911354064941406 × 216)
    floor (0.911354064941406 × 65536)
    floor (59726.5)     		tx = 59726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906105041503906 × 216)
    floor (0.906105041503906 × 65536)
    floor (59382.5)     		ty = 59382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59726 / 59382 ti = "16/59726/59382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59726/59382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59726 ÷ 216
    59726 ÷ 65536     		x = 0.911346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59382 ÷ 216
    59382 ÷ 65536     		y = 0.906097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911346435546875 × 2 - 1) × π
    0.82269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58456588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906097412109375 × 2 - 1) × π
    -0.81219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55158529297635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58456588} λ = 2.58456588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55158529297635))-π/2
    2×atan(0.0779579817482517)-π/2
    2×0.0778006266426876-π/2
    0.155601253285375-1.57079632675     		φ = -1.41519507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58456588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41519507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.084705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59726 KachelY 59382 2.58456588 -1.41519507 148.084717 -81.084705
    Oben rechts KachelX + 1 59727 KachelY 59382 2.58466175 -1.41519507 148.090210 -81.084705
    Unten links KachelX 59726 KachelY + 1 59383 2.58456588 -1.41520993 148.084717 -81.085556
    Unten rechts KachelX + 1 59727 KachelY + 1 59383 2.58466175 -1.41520993 148.090210 -81.085556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41519507--1.41520993) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dl = 94.6730600003882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41519507--1.41520993) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dr = 94.6730600003882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58456588-2.58466175) × cos(-1.41519507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154974119996712 × 6371000     		do = 94.6562971605019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58456588-2.58466175) × cos(-1.41520993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154959439510244 × 6371000     		du = 94.6473304989099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41519507)-sin(-1.41520993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154974119996712-0.154959439510244)×R²
    abs(2.58466175-2.58456588)×1.46804864675776e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46804864675776e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46804864675776e-05×40589641000000     		ar = 8960.97685035191m²