Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59726 / 59318
↖ ↑ ↗
← S 81.030057°
E148.084717°		 ← 95.23 m → S 81.030057°
E148.090210°		 →
↑
95.18 m
↓
↑
95.18 m
↓
S 81.030913°
E148.084717°		 ← 95.22 m →
9 064 m²		 S 81.030913°
E148.090210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911354064941406 y=0.905128479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911354064941406 × 216)
    floor (0.911354064941406 × 65536)
    floor (59726.5)     		tx = 59726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905128479003906 × 216)
    floor (0.905128479003906 × 65536)
    floor (59318.5)     		ty = 59318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59726 / 59318 ti = "16/59726/59318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59726/59318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59726 ÷ 216
    59726 ÷ 65536     		x = 0.911346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59318 ÷ 216
    59318 ÷ 65536     		y = 0.905120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911346435546875 × 2 - 1) × π
    0.82269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58456588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905120849609375 × 2 - 1) × π
    -0.81024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54544936982498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58456588} λ = 2.58456588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54544936982498))-π/2
    2×atan(0.0784377964810585)-π/2
    2×0.0782775251750288-π/2
    0.156555050350058-1.57079632675     		φ = -1.41424128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58456588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41424128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.030057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59726 KachelY 59318 2.58456588 -1.41424128 148.084717 -81.030057
    Oben rechts KachelX + 1 59727 KachelY 59318 2.58466175 -1.41424128 148.090210 -81.030057
    Unten links KachelX 59726 KachelY + 1 59319 2.58456588 -1.41425622 148.084717 -81.030913
    Unten rechts KachelX + 1 59727 KachelY + 1 59319 2.58466175 -1.41425622 148.090210 -81.030913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41424128--1.41425622) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dl = 95.1827400001199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41424128--1.41425622) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dr = 95.1827400001199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58456588-2.58466175) × cos(-1.41424128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155916316177514 × 6371000     		do = 95.2317790646769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58456588-2.58466175) × cos(-1.41425622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15590155887231 × 6371000     		du = 95.2227654831401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41424128)-sin(-1.41425622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155916316177514-0.15590155887231)×R²
    abs(2.58466175-2.58456588)×1.47573052039773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47573052039773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47573052039773e-05×40589641000000     		ar = 9063.99269806992m²