Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59725 / 86264
↖ ↑ ↗
← S 49.368066°
W 15.960388°		 ← 198.85 m → S 49.368066°
W 15.957642°		 →
↑
198.90 m
↓
↑
198.90 m
↓
S 49.369855°
W 15.960388°		 ← 198.84 m →
39 551 m²		 S 49.369855°
W 15.957642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455669403076172 y=0.658145904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455669403076172 × 217)
    floor (0.455669403076172 × 131072)
    floor (59725.5)     		tx = 59725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658145904541016 × 217)
    floor (0.658145904541016 × 131072)
    floor (86264.5)     		ty = 86264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59725 / 86264 ti = "17/59725/86264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59725/86264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59725 ÷ 217
    59725 ÷ 131072     		x = 0.455665588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86264 ÷ 217
    86264 ÷ 131072     		y = 0.65814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455665588378906 × 2 - 1) × π
    -0.0886688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27856132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.3162841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.993636055324524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27856132} λ = -0.27856132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993636055324524))-π/2
    2×atan(0.370228070930648)-π/2
    2×0.354580511963893-π/2
    0.709161023927785-1.57079632675     		φ = -0.86163530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27856132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.960388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86163530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.368066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59725 KachelY 86264 -0.27856132 -0.86163530 -15.960388 -49.368066
    Oben rechts KachelX + 1 59726 KachelY 86264 -0.27851339 -0.86163530 -15.957642 -49.368066
    Unten links KachelX 59725 KachelY + 1 86265 -0.27856132 -0.86166652 -15.960388 -49.369855
    Unten rechts KachelX + 1 59726 KachelY + 1 86265 -0.27851339 -0.86166652 -15.957642 -49.369855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86163530--0.86166652) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dl = 198.90261999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86163530--0.86166652) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dr = 198.90261999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27856132--0.27851339) × cos(-0.86163530) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651197296397375 × 6371000     		do = 198.850928358306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27856132--0.27851339) × cos(-0.86166652) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651173602957273 × 6371000     		du = 198.843693281338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86163530)-sin(-0.86166652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651197296397375-0.651173602957273)×R²
    abs(-0.27851339--0.27856132)×2.36934401020017e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36934401020017e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36934401020017e-05×40589641000000     		ar = 39551.2511054011m²