Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59725 / 86258
↖ ↑ ↗
← S 49.357334°
W 15.960388°		 ← 198.89 m → S 49.357334°
W 15.957642°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
S 49.359123°
W 15.960388°		 ← 198.89 m →
39 573 m²		 S 49.359123°
W 15.957642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455669403076172 y=0.658100128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455669403076172 × 217)
    floor (0.455669403076172 × 131072)
    floor (59725.5)     		tx = 59725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658100128173828 × 217)
    floor (0.658100128173828 × 131072)
    floor (86258.5)     		ty = 86258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59725 / 86258 ti = "17/59725/86258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59725/86258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59725 ÷ 217
    59725 ÷ 131072     		x = 0.455665588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86258 ÷ 217
    86258 ÷ 131072     		y = 0.658096313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455665588378906 × 2 - 1) × π
    -0.0886688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27856132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658096313476562 × 2 - 1) × π
    -0.316192626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.993348433926804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27856132} λ = -0.27856132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993348433926804))-π/2
    2×atan(0.37033457176111)-π/2
    2×0.354674171322855-π/2
    0.709348342645709-1.57079632675     		φ = -0.86144798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27856132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.960388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86144798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.357334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59725 KachelY 86258 -0.27856132 -0.86144798 -15.960388 -49.357334
    Oben rechts KachelX + 1 59726 KachelY 86258 -0.27851339 -0.86144798 -15.957642 -49.357334
    Unten links KachelX 59725 KachelY + 1 86259 -0.27856132 -0.86147921 -15.960388 -49.359123
    Unten rechts KachelX + 1 59726 KachelY + 1 86259 -0.27851339 -0.86147921 -15.957642 -49.359123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86144798--0.86147921) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86144798--0.86147921) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27856132--0.27851339) × cos(-0.86144798) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651339443708176 × 6371000     		do = 198.894334749691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27856132--0.27851339) × cos(-0.86147921) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651315746488639 × 6371000     		du = 198.887098518627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86144798)-sin(-0.86147921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651339443708176-0.651315746488639)×R²
    abs(-0.27851339--0.27856132)×2.36972195372109e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36972195372109e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36972195372109e-05×40589641000000     		ar = 39572.5559630627m²