Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59725 / 27398
↖ ↑ ↗
← N 71.741269°
W 15.960388°		 ← 95.67 m → N 71.741269°
W 15.957642°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
N 71.740409°
W 15.960388°		 ← 95.68 m →
9 155 m²		 N 71.740409°
W 15.957642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455669403076172 y=0.209033966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455669403076172 × 217)
    floor (0.455669403076172 × 131072)
    floor (59725.5)     		tx = 59725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209033966064453 × 217)
    floor (0.209033966064453 × 131072)
    floor (27398.5)     		ty = 27398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59725 / 27398 ti = "17/59725/27398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59725/27398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59725 ÷ 217
    59725 ÷ 131072     		x = 0.455665588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27398 ÷ 217
    27398 ÷ 131072     		y = 0.209030151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455665588378906 × 2 - 1) × π
    -0.0886688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27856132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209030151367188 × 2 - 1) × π
    0.581939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8282174777097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27856132} λ = -0.27856132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8282174777097))-π/2
    2×atan(6.22278451444999)-π/2
    2×1.41145884245254-π/2
    2.82291768490508-1.57079632675     		φ = 1.25212136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27856132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.960388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25212136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.741269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59725 KachelY 27398 -0.27856132 1.25212136 -15.960388 71.741269
    Oben rechts KachelX + 1 59726 KachelY 27398 -0.27851339 1.25212136 -15.957642 71.741269
    Unten links KachelX 59725 KachelY + 1 27399 -0.27856132 1.25210634 -15.960388 71.740409
    Unten rechts KachelX + 1 59726 KachelY + 1 27399 -0.27851339 1.25210634 -15.957642 71.740409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25212136-1.25210634) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25212136-1.25210634) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27856132--0.27851339) × cos(1.25212136) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.313308516391486 × 6371000     		do = 95.6725245815403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27856132--0.27851339) × cos(1.25210634) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.31332278012011 × 6371000     		du = 95.676880182668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25212136)-sin(1.25210634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313308516391486-0.31332278012011)×R²
    abs(-0.27851339--0.27856132)×1.42637286231762e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.42637286231762e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.42637286231762e-05×40589641000000     		ar = 9155.34380383259m²