Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59723 / 85103
S 47.247542°
W 15.965881°
← 207.33 m → S 47.247542°
W 15.963135°

207.31 m

207.31 m
S 47.249407°
W 15.965881°
← 207.33 m →
42 982 m²
S 47.249407°
W 15.963135°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455654144287109 y=0.649288177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455654144287109 × 217)
    floor (0.455654144287109 × 131072)
    floor (59723.5)
    tx = 59723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649288177490234 × 217)
    floor (0.649288177490234 × 131072)
    floor (85103.5)
    ty = 85103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59723 / 85103 ti = "17/59723/85103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59723/85103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59723 ÷ 217
    59723 ÷ 131072
    x = 0.455650329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85103 ÷ 217
    85103 ÷ 131072
    y = 0.649284362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.455650329589844 × 2 - 1) × π
    -0.0886993408203125 × 3.1415926535
    Λ = -0.27865720
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.649284362792969 × 2 - 1) × π
    -0.298568725585938 × 3.1415926535
    Φ = -0.937981314865639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27865720} λ = -0.27865720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937981314865639))-π/2
    2×atan(0.391417186420398)-π/2
    2×0.373085573161746-π/2
    0.746171146323493-1.57079632675
    φ = -0.82462518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27865720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.965881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82462518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.247542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59723 KachelY 85103 -0.27865720 -0.82462518 -15.965881 -47.247542
    Oben rechts KachelX + 1 59724 KachelY 85103 -0.27860926 -0.82462518 -15.963135 -47.247542
    Unten links KachelX 59723 KachelY + 1 85104 -0.27865720 -0.82465772 -15.965881 -47.249407
    Unten rechts KachelX + 1 59724 KachelY + 1 85104 -0.27860926 -0.82465772 -15.963135 -47.249407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.82462518--0.82465772) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000
    dl = 207.312340000515m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.82462518--0.82465772) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000
    dr = 207.312340000515m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27865720--0.27860926) × cos(-0.82462518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67883224115189 × 6371000
    do = 207.332839589539m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27865720--0.27860926) × cos(-0.82465772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.678808346885465 × 6371000
    du = 207.325541665534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.82462518)-sin(-0.82465772))×
    abs(λ12)×abs(0.67883224115189-0.678808346885465)×
    abs(-0.27860926--0.27865720)×2.38942664257946e-05×
    4.79399999999686e-05×2.38942664257946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38942664257946e-05×40589641000000
    ar = 42981.899663304m²