Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59722 / 59194
↖ ↑ ↗
← S 80.923227°
E148.062744°		 ← 96.37 m → S 80.923227°
E148.068237°		 →
↑
96.39 m
↓
↑
96.39 m
↓
S 80.924094°
E148.062744°		 ← 96.36 m →
9 289 m²		 S 80.924094°
E148.068237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911293029785156 y=0.903236389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911293029785156 × 216)
    floor (0.911293029785156 × 65536)
    floor (59722.5)     		tx = 59722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903236389160156 × 216)
    floor (0.903236389160156 × 65536)
    floor (59194.5)     		ty = 59194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59722 / 59194 ti = "16/59722/59194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59722/59194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59722 ÷ 216
    59722 ÷ 65536     		x = 0.911285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59194 ÷ 216
    59194 ÷ 65536     		y = 0.903228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911285400390625 × 2 - 1) × π
    0.82257080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58418238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.80645751953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53356101871921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58418238} λ = 2.58418238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53356101871921))-π/2
    2×atan(0.0793758574967314)-π/2
    2×0.0792097816274789-π/2
    0.158419563254958-1.57079632675     		φ = -1.41237676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58418238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.062744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41237676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.923227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59722 KachelY 59194 2.58418238 -1.41237676 148.062744 -80.923227
    Oben rechts KachelX + 1 59723 KachelY 59194 2.58427826 -1.41237676 148.068237 -80.923227
    Unten links KachelX 59722 KachelY + 1 59195 2.58418238 -1.41239189 148.062744 -80.924094
    Unten rechts KachelX + 1 59723 KachelY + 1 59195 2.58427826 -1.41239189 148.068237 -80.924094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41237676--1.41239189) × R
    1.51300000001964e-05 × 6371000     		dl = 96.3932300012511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41237676--1.41239189) × R
    1.51300000001964e-05 × 6371000     		dr = 96.3932300012511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58418238-2.58427826) × cos(-1.41237676) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157757761514131 × 6371000     		do = 96.3665621023309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58418238-2.58427826) × cos(-1.41239189) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157742820956324 × 6371000     		du = 96.3574356404821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41237676)-sin(-1.41239189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157757761514131-0.157742820956324)×R²
    abs(2.58427826-2.58418238)×1.49405578076522e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49405578076522e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49405578076522e-05×40589641000000     		ar = 9288.64432113181m²