Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59721 / 85093
↖ ↑ ↗
← S 47.228894°
W 15.971374°		 ← 207.41 m → S 47.228894°
W 15.968628°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
S 47.230759°
W 15.971374°		 ← 207.40 m →
43 010 m²		 S 47.230759°
W 15.968628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455638885498047 y=0.649211883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455638885498047 × 217)
    floor (0.455638885498047 × 131072)
    floor (59721.5)     		tx = 59721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649211883544922 × 217)
    floor (0.649211883544922 × 131072)
    floor (85093.5)     		ty = 85093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59721 / 85093 ti = "17/59721/85093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59721/85093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59721 ÷ 217
    59721 ÷ 131072     		x = 0.455635070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85093 ÷ 217
    85093 ÷ 131072     		y = 0.649208068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455635070800781 × 2 - 1) × π
    -0.0887298583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27875307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649208068847656 × 2 - 1) × π
    -0.298416137695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.937501945869438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27875307} λ = -0.27875307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937501945869438))-π/2
    2×atan(0.39160486466412)-π/2
    2×0.373248307363141-π/2
    0.746496614726281-1.57079632675     		φ = -0.82429971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27875307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.971374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82429971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.228894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59721 KachelY 85093 -0.27875307 -0.82429971 -15.971374 -47.228894
    Oben rechts KachelX + 1 59722 KachelY 85093 -0.27870513 -0.82429971 -15.968628 -47.228894
    Unten links KachelX 59721 KachelY + 1 85094 -0.27875307 -0.82433226 -15.971374 -47.230759
    Unten rechts KachelX + 1 59722 KachelY + 1 85094 -0.27870513 -0.82433226 -15.968628 -47.230759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82429971--0.82433226) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82429971--0.82433226) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27875307--0.27870513) × cos(-0.82429971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679071195664 × 6371000     		do = 207.405822448226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27875307--0.27870513) × cos(-0.82433226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679047301247141 × 6371000     		du = 207.398524478275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82429971)-sin(-0.82433226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679071195664-0.679047301247141)×R²
    abs(-0.27870513--0.27875307)×2.38944168595712e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38944168595712e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38944168595712e-05×40589641000000     		ar = 43010.2434979426m²