Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59721 / 59369
↖ ↑ ↗
← S 81.073631°
E148.057251°		 ← 94.77 m → S 81.073631°
E148.062744°		 →
↑
94.80 m
↓
↑
94.80 m
↓
S 81.074484°
E148.057251°		 ← 94.76 m →
8 984 m²		 S 81.074484°
E148.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911277770996094 y=0.905906677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911277770996094 × 216)
    floor (0.911277770996094 × 65536)
    floor (59721.5)     		tx = 59721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905906677246094 × 216)
    floor (0.905906677246094 × 65536)
    floor (59369.5)     		ty = 59369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59721 / 59369 ti = "16/59721/59369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59721/59369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59721 ÷ 216
    59721 ÷ 65536     		x = 0.911270141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59369 ÷ 216
    59369 ÷ 65536     		y = 0.905899047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911270141601562 × 2 - 1) × π
    0.822540283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58408651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905899047851562 × 2 - 1) × π
    -0.811798095703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55033893358623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58408651} λ = 2.58408651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55033893358623))-π/2
    2×atan(0.0780552059864239)-π/2
    2×0.0778972628467118-π/2
    0.155794525693424-1.57079632675     		φ = -1.41500180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58408651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.057251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41500180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.073631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59721 KachelY 59369 2.58408651 -1.41500180 148.057251 -81.073631
    Oben rechts KachelX + 1 59722 KachelY 59369 2.58418238 -1.41500180 148.062744 -81.073631
    Unten links KachelX 59721 KachelY + 1 59370 2.58408651 -1.41501668 148.057251 -81.074484
    Unten rechts KachelX + 1 59722 KachelY + 1 59370 2.58418238 -1.41501668 148.062744 -81.074484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41500180--1.41501668) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dl = 94.8004799996138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41500180--1.41501668) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dr = 94.8004799996138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58408651-2.58418238) × cos(-1.41500180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15516505211544 × 6371000     		do = 94.7729161635215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58408651-2.58418238) × cos(-1.41501668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155150352316493 × 6371000     		du = 94.7639377061031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41500180)-sin(-1.41501668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15516505211544-0.155150352316493)×R²
    abs(2.58418238-2.58408651)×1.46997989472486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46997989472486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46997989472486e-05×40589641000000     		ar = 8984.09236238063m²