Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59721 / 59177
↖ ↑ ↗
← S 80.908484°
E148.057251°		 ← 96.51 m → S 80.908484°
E148.062744°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
S 80.909352°
E148.057251°		 ← 96.50 m →
9 315 m²		 S 80.909352°
E148.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911277770996094 y=0.902976989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911277770996094 × 216)
    floor (0.911277770996094 × 65536)
    floor (59721.5)     		tx = 59721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902976989746094 × 216)
    floor (0.902976989746094 × 65536)
    floor (59177.5)     		ty = 59177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59721 / 59177 ti = "16/59721/59177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59721/59177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59721 ÷ 216
    59721 ÷ 65536     		x = 0.911270141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59177 ÷ 216
    59177 ÷ 65536     		y = 0.902969360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911270141601562 × 2 - 1) × π
    0.822540283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58408651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902969360351562 × 2 - 1) × π
    -0.805938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53193116413213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58408651} λ = 2.58408651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53193116413213))-π/2
    2×atan(0.0795053340875216)-π/2
    2×0.0793384462403919-π/2
    0.158676892480784-1.57079632675     		φ = -1.41211943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58408651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.057251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41211943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.908484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59721 KachelY 59177 2.58408651 -1.41211943 148.057251 -80.908484
    Oben rechts KachelX + 1 59722 KachelY 59177 2.58418238 -1.41211943 148.062744 -80.908484
    Unten links KachelX 59721 KachelY + 1 59178 2.58408651 -1.41213458 148.057251 -80.909352
    Unten rechts KachelX + 1 59722 KachelY + 1 59178 2.58418238 -1.41213458 148.062744 -80.909352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41211943--1.41213458) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dl = 96.5206500004767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41211943--1.41213458) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dr = 96.5206500004767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58408651-2.58418238) × cos(-1.41211943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158011863961181 × 6371000     		do = 96.5117140223909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58408651-2.58418238) × cos(-1.41213458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157996904269261 × 6371000     		du = 96.5025768255235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41211943)-sin(-1.41213458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158011863961181-0.157996904269261)×R²
    abs(2.58418238-2.58408651)×1.49596919195305e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49596919195305e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49596919195305e-05×40589641000000     		ar = 9314.93240624409m²